Номер 188, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 188, страница 71.

188 Функция $y = g(x)$ задана формулой. Выполните задания:

1) найдите нули функции; отметьте их на координатной прямой;

2) определите знак функции в каждом из полученных интервалов, заполнив таблицу, аналогичную таблице на с. 70.

а) $g(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 1);$

б) $g(x) = x(x - 6)(x - 2).$

а)

Дана функция $g(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 1)$.

1) Найдем нули функции; отметим их на координатной прямой.

Нули функции — это значения $x$, при которых $g(x) = 0$. Решим уравнение:

$(x + 5)(x + 1)(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

• $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$
• $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
• $x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

Нули функции: $x = -5, x = -1, x = 1$.

Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

2) Определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

Для этого выберем по одной контрольной точке из каждого интервала и определим знак $g(x)$ в этой точке (метод интервалов).

• Интервал $(-\infty, -5)$: возьмем $x = -6$.
  $g(-6) = (-6 + 5)(-6 + 1)(-6 - 1) = (-1) \cdot (-5) \cdot (-7) = -35$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(-5, -1)$: возьмем $x = -2$.
  $g(-2) = (-2 + 5)(-2 + 1)(-2 - 1) = (3) \cdot (-1) \cdot (-3) = 9$. Знак «плюс» (+).
• Интервал $(-1, 1)$: возьмем $x = 0$.
  $g(0) = (0 + 5)(0 + 1)(0 - 1) = (5) \cdot (1) \cdot (-1) = -5$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $x = 2$.
  $g(2) = (2 + 5)(2 + 1)(2 - 1) = (7) \cdot (3) \cdot (1) = 21$. Знак «плюс» (+).

Заполним таблицу знаков функции:

Интервал	$(-\infty, -5)$	$(-5, -1)$	$(-1, 1)$	$(1, +\infty)$
Знак $g(x)$	–	+	–	+

Ответ: нули функции: $x_1 = -5, x_2 = -1, x_3 = 1$. Функция положительна ($g(x) > 0$) при $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$ и отрицательна ($g(x) < 0$) при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 1)$.

---

б)

Дана функция $g(x) = x(x - 6)(x - 2)$.

1) Найдем нули функции; отметим их на координатной прямой.

Нули функции — это значения $x$, при которых $g(x) = 0$. Решим уравнение:

$x(x - 6)(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Расположим нули в порядке возрастания:

• $x_1 = 0$
• $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
• $x - 6 = 0 \Rightarrow x_3 = 6$

Нули функции: $x = 0, x = 2, x = 6$.

Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 6)$ и $(6, +\infty)$.

2) Определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

Для этого выберем по одной контрольной точке из каждого интервала и определим знак $g(x)$ в этой точке.

• Интервал $(-\infty, 0)$: возьмем $x = -1$.
  $g(-1) = (-1)(-1 - 6)(-1 - 2) = (-1) \cdot (-7) \cdot (-3) = -21$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(0, 2)$: возьмем $x = 1$.
  $g(1) = 1 \cdot (1 - 6)(1 - 2) = 1 \cdot (-5) \cdot (-1) = 5$. Знак «плюс» (+).
• Интервал $(2, 6)$: возьмем $x = 3$.
  $g(3) = 3 \cdot (3 - 6)(3 - 2) = 3 \cdot (-3) \cdot (1) = -9$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(6, +\infty)$: возьмем $x = 7$.
  $g(7) = 7 \cdot (7 - 6)(7 - 2) = 7 \cdot (1) \cdot (5) = 35$. Знак «плюс» (+).

Заполним таблицу знаков функции:

Интервал	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, 6)$	$(6, +\infty)$
Знак $g(x)$	–	+	–	+

Ответ: нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 6$. Функция положительна ($g(x) > 0$) при $x \in (0, 2) \cup (6, +\infty)$ и отрицательна ($g(x) < 0$) при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 6)$.