Номер 195, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 195, страница 71.

195 Найдите множество решений неравенства:

а) $(x^2 - 5x + 4)(x - 2) < 0;$

б) $(x^2 - 9)(x - 25) > 0;$

в) $(x^2 - 7x + 12)(1 - x) > 0.$

а) $(x^2 - 5x + 4)(x - 2) < 0$

Для решения этого неравенства сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, квадратный трехчлен можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Подставим это разложение в исходное неравенство:

$(x - 1)(x - 4)(x - 2) < 0$.

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: 1, 2, 4. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 1)(x - 4)(x - 2)$ в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$(5 - 1)(5 - 4)(5 - 2) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$, что больше 0. Значит, в интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно.

Поскольку все корни имеют нечетную степень (1), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: $+ \rightarrow - \rightarrow + \rightarrow -$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 4)$.

б) $(x^2 - 9)(x - 25) > 0$

Сначала разложим на множители выражение $x^2 - 9$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим это в неравенство:

$(x - 3)(x + 3)(x - 25) > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем нули выражения в левой части:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$

Отметим точки -3, 3, 25 на числовой оси. Неравенство строгое ($>0$), поэтому точки выколотые.

Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, 25)$ и $(25, +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x=30$:

$(30 - 3)(30 + 3)(30 - 25) = 27 \cdot 33 \cdot 5$, что больше 0. В интервале $(25, +\infty)$ ставим знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки в интервалах чередуются: $- \rightarrow + \rightarrow - \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервалы $(-3, 3)$ и $(25, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 3) \cup (25, +\infty)$.

в) $(x^2 - 7x + 12)(1 - x) > 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 12$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 3)(x - 4)(1 - x) > 0$.

Для удобства работы с методом интервалов приведем множитель $(1 - x)$ к стандартному виду $(x-a)$. Для этого вынесем -1 за скобки: $1 - x = -(x - 1)$.

Неравенство становится: $(x - 3)(x - 4)(-(x - 1)) > 0$.

$-(x - 1)(x - 3)(x - 4) > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(x - 1)(x - 3)(x - 4) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули выражения: $x=1, x=3, x=4$.

Отметим выколотые точки 1, 3, 4 на числовой оси. Они образуют интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=5$:

$(5 - 1)(5 - 3)(5 - 4) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+ \rightarrow - \rightarrow + \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(3, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 4)$.