Номер 2, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 2, страница 73.

2 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x + 3}$;

б) $y = -\frac{1}{x - 4}$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x + p}$, если

а) $k > 0, p > 0$;

б) $k > 0, p < 0$;

в) $k < 0, p > 0$;

г) $k < 0, p < 0$.

1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x + 3}$

1. Нахождение асимптот.
График функции является гиперболой. Для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ вертикальной асимптотой является прямая $x=a$, а горизонтальной — прямая $y=b$.
В нашем случае функция $y = \frac{2}{x + 3}$ может быть записана как $y = \frac{2}{x - (-3)} + 0$.
Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю: $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$.
Горизонтальная асимптота находится как предел функции при $x \to \pm\infty$. В этом случае значение дроби $\frac{2}{x+3}$ стремится к 0. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=0$ (ось Ox).

2. Построение графика по точкам.
Составим таблицу значений функции для нескольких точек, расположенных по обе стороны от вертикальной асимптоты:

• При $x=-5$, $y=\frac{2}{-5+3}=-1$. Точка (-5, -1).
• При $x=-4$, $y=\frac{2}{-4+3}=-2$. Точка (-4, -2).
• При $x=-2$, $y=\frac{2}{-2+3}=2$. Точка (-2, 2).
• При $x=-1$, $y=\frac{2}{-1+3}=1$. Точка (-1, 1).

График функции — это гипербола $y = \frac{2}{x}$, смещенная на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -3$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График представлен на рисунке выше.

---

б) $y = -\frac{1}{x - 4}$

1. Нахождение асимптот.
Функция $y = -\frac{1}{x - 4}$ является гиперболой.
Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.
Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Таким образом, $y=0$.

2. Построение графика по точкам.
Составим таблицу значений функции:

• При $x=2$, $y=-\frac{1}{2-4}=0.5$. Точка (2, 0.5).
• При $x=3$, $y=-\frac{1}{3-4}=1$. Точка (3, 1).
• При $x=5$, $y=-\frac{1}{5-4}=-1$. Точка (5, -1).
• При $x=6$, $y=-\frac{1}{6-4}=-0.5$. Точка (6, -0.5).

График функции — это гипербола $y = -\frac{1}{x}$, смещенная на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График представлен на рисунке выше.

---

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x + p}$, если

Общий анализ: график функции $y = \frac{k}{x+p}$ — это гипербола $y=\frac{k}{x}$, смещенная по оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=-p$. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Положение ветвей зависит от знака коэффициента $k$: если $k>0$, ветви находятся в I и III четвертях относительно асимптот; если $k<0$ — во II и IV.

а) $k > 0, p > 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p > 0$, то $-p < 0$, значит, асимптота находится левее оси Oy. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ слева от оси Oy, ветви в 1-й и 3-й "четвертях".

б) $k > 0, p < 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p < 0$, то $-p > 0$, значит, асимптота находится правее оси Oy. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ справа от оси Oy, ветви в 1-й и 3-й "четвертях".

в) $k < 0, p > 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p > 0$, то $-p < 0$, значит, асимптота находится левее оси Oy. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ слева от оси Oy, ветви во 2-й и 4-й "четвертях".

г) $k < 0, p < 0$

Вертикальная асимптота $x = -p$. Поскольку $p < 0$, то $-p > 0$, значит, асимптота находится правее оси Oy. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше. Асимптота $x=-p$ справа от оси Oy, ветви во 2-й и 4-й "четвертях".