Номер 191, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 191, страница 71.

191 1) Разберите приём решения неравенства $(2x + 3)(x - 11) < 0$. Преобразуем неравенство в равносильное так, чтобы в первом множителе коэффициент при $x$ был равен $1$. Для этого вынесем за скобки число $2$ и разделим обе части неравенства на $2$, получим $(x + 1,5)(x - 11) < 0$. Доведите решение до конца.

2) Решите неравенство, воспользовавшись аналогичным приёмом:

a) $(x - 1)(2x - 5) < 0$;

б) $(x + 4)(3x - 9) \le 0$;

в) $x(2x - 7)(x + 1) > 0$.

1) Завершим решение неравенства, доведенного до вида $(x + 1,5)(x - 11) < 0$. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдём нули функции $f(x) = (x + 1,5)(x - 11)$. Для этого решим уравнение $(x + 1,5)(x - 11) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = -1,5$ и $x_2 = 11$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в множество решений. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1,5)$, $(-1,5; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 1,5)(x - 11)$ на каждом из интервалов. Поскольку старший коэффициент многочлена положителен, в крайнем правом интервале $(11; +\infty)$ выражение будет иметь знак «+». Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки будут распределены следующим образом: +, -, +.

Нас интересует интервал, где значение выражения меньше нуля, то есть интервал со знаком «-». Это интервал $(-1,5; 11)$.

Ответ: $x \in (-1,5; 11)$.

2)

а) Решим неравенство $(x - 1)(2x - 5) < 0$.

Воспользуемся аналогичным приёмом. Вынесем коэффициент $2$ из второго множителя за скобки: $(x - 1) \cdot 2(x - 2,5) < 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $2$. Знак неравенства при этом не изменится: $(x - 1)(x - 2,5) < 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x - 2,5) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2,5$. Так как это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, отрицательные значения она принимает между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы интервала в решение не включаются.

Ответ: $x \in (1; 2,5)$.

б) Решим неравенство $(x + 4)(3x - 9) \leq 0$.

Вынесем множитель $3$ из второй скобки: $(x + 4) \cdot 3(x - 3) \leq 0$.

Разделим обе части неравенства на $3$: $(x + 4)(x - 3) \leq 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x + 4)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. График функции — парабола с ветвями вверх. Значения меньше или равные нулю находятся на отрезке между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-4; 3]$.

в) Решим неравенство $x(2x - 7)(x + 1) > 0$.

Вынесем множитель $2$ из второго множителя: $x \cdot 2(x - 3,5)(x + 1) > 0$.

Разделим обе части неравенства на $2$: $x(x - 3,5)(x + 1) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $x(x + 1)(x - 3,5) = 0$. Корни в порядке возрастания: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3,5$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Точки будут выколотыми, так как неравенство строгое ($> 0$). Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 3,5)$ и $(3,5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. В крайнем правом интервале $(3,5; +\infty)$ все множители положительны, значит, и всё произведение имеет знак «+». Так как все корни имеют кратность 1, знаки будут чередоваться: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (то есть со знаком «+»). Это интервалы $(-1; 0)$ и $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (3,5; +\infty)$.