Номер 189, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 189, страница 71.

189 1) На рисунке 2.33 изображены промежутки, на которые разбивают координатную прямую нули функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x - 1)$, и указаны знаки функции в каждом из них. Используя рисунок, найдите множества решений неравенств $ (x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0 $ и $ (x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0 $.

Рис. 2.33

2) Решите неравенство: а) $x(x + 5) > 0$; б) $(x - 5)(x + 4)(x + 1) > 0$.

1)

В задаче требуется найти множества решений для двух неравенств, используя предоставленный рисунок 2.33. На рисунке показаны знаки функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x - 1)$ на интервалах, на которые координатную прямую разбивают нули функции: $x = -4$, $x = 1$ и $x = 3$.

Для неравенства $(x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0$ ищем промежутки, где функция $f(x)$ отрицательна. Согласно рисунку, это интервалы, отмеченные знаком «−». Такими интервалами являются $(-\infty; -4)$ и $(1; 3)$.

Для неравенства $(x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0$ ищем промежутки, где функция $f(x)$ положительна. Согласно рисунку, это интервалы, отмеченные знаком «+». Такими интервалами являются $(-4; 1)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: для $(x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0$ решением является $x \in (-\infty; -4) \cup (1; 3)$; для $(x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0$ решением является $x \in (-4; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) а)

Решим неравенство $x(x + 5) > 0$ методом интервалов. Сначала найдем нули выражения $x(x + 5)$, приравняв его к нулю: $x(x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом из них, подставляя тестовые значения. На интервале $(-\infty; -5)$ (например, при $x = -6$) выражение положительно: $(-6)(-6+5) = 6 > 0$. На интервале $(-5; 0)$ (например, при $x = -1$) выражение отрицательно: $(-1)(-1+5) = -4 < 0$. На интервале $(0; +\infty)$ (например, при $x = 1$) выражение положительно: $1(1+5) = 6 > 0$.

Поскольку мы решаем неравенство со знаком $ > 0 $, нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

2) б)

Решим неравенство $(x - 5)(x + 4)(x + 1) > 0$ методом интервалов. Найдем нули выражения $(x - 5)(x + 4)(x + 1)$, приравняв его к нулю. Корнями являются $x_1 = 5$, $x_2 = -4$ и $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-4, -1, 5$. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$. Возьмем $x=6$: $(6-5)(6+4)(6+1) = 1 \cdot 10 \cdot 7 = 70 > 0$. Знак будет «+». Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки на интервалах слева направо: «−», «+», «−», «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-4; -1) \cup (5; +\infty)$.