Номер 194, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.6 Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 194, страница 71.

194 При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{(x - 3)(x + 2)}$;

б) $\sqrt{x(5 - x)(3 + x)}$;

в) $\sqrt{(x + 8)(x + 4)(x - 1)}$?

а) Выражение $\sqrt{(x-3)(x+2)}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение является неотрицательным числом, то есть больше или равно нулю. Это приводит к следующему неравенству:

$(x-3)(x+2) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x-3)(x+2) = 0$.

Корни уравнения: $x-3=0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $x+2=0 \Rightarrow x_2 = -2$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак произведения $(x-3)(x+2)$ в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

• В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $(-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-2; 3)$ возьмем $x = 0$: $(0-3)(0+2) = (-3)(2) = -6$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $(4-3)(4+2) = (1)(6) = 6$. Значение положительно (+).

Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{x(5-x)(3+x)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x(5-x)(3+x) \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(5-x)(3+x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $5-x=0 \Rightarrow x_2 = 5$ и $3+x=0 \Rightarrow x_3 = -3$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, 0, 5. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $x(5-x)(3+x)$ в каждом интервале.

• В интервале $(5; +\infty)$ возьмем $x = 6$: $6(5-6)(3+6) = 6(-1)(9) = -54$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(0; 5)$ возьмем $x = 1$: $1(5-1)(3+1) = 1(4)(4) = 16$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-3; 0)$ возьмем $x = -1$: $-1(5-(-1))(3+(-1)) = (-1)(6)(2) = -12$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$: $-4(5-(-4))(3+(-4)) = (-4)(9)(-1) = 36$. Значение положительно (+).

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, мы выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -3]$ и $[0; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 5]$.

в) Выражение $\sqrt{(x+8)(x+4)(x-1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$(x+8)(x+4)(x-1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x+8)(x+4)(x-1) = 0$.

Корни уравнения: $x+8=0 \Rightarrow x_1 = -8$, $x+4=0 \Rightarrow x_2 = -4$ и $x-1=0 \Rightarrow x_3 = 1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -8, -4, 1. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; -4)$, $(-4; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения $(x+8)(x+4)(x-1)$ в каждом интервале.

• В интервале $(1; +\infty)$ возьмем $x = 2$: $(2+8)(2+4)(2-1) = (10)(6)(1) = 60$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-4; 1)$ возьмем $x = 0$: $(0+8)(0+4)(0-1) = (8)(4)(-1) = -32$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(-8; -4)$ возьмем $x = -5$: $(-5+8)(-5+4)(-5-1) = (3)(-1)(-6) = 18$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(-10+8)(-10+4)(-10-1) = (-2)(-6)(-11) = -132$. Значение отрицательно (–).

Поскольку неравенство имеет вид $\ge 0$, мы выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $[-8; -4]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8, -4] \cup [1, +\infty)$.