Номер 3, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 73.

3 Постройте в координатной плоскости асимптоты графика заданной функции и изобразите этот график схематически.

а) $y = \frac{1}{x+3} - 2;$

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6;$

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4;$

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2.$

В каждом случае найдите координаты точек пересечения графика с осью x и осью y и отметьте эти точки на рисунке.

а) Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x+3} - 2$.

1. Асимптоты.
График функции — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x+3=0$, откуда $x=-3$.
Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$. В этом случае дробь $\frac{1}{x+3} \to 0$, поэтому $y \to -2$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{1}{x+3} - 2 \implies 2 = \frac{1}{x+3} \implies 2(x+3) = 1 \implies 2x+6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-2.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = \frac{1}{0+3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5/3)$.

3. Схематический график.
Строим в координатной плоскости асимптоты $x=-3$ и $y=-2$. Поскольку коэффициент $k=1$ (в выражении $\frac{k}{x-a}+b$) положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей "четвертях" относительно системы координат, образованной асимптотами. Отмечаем найденные точки пересечения с осями.

Ответ: Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$. Точка пересечения с осью Ox: $(-2.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5/3)$.

---

б) Рассматриваем функцию $y = -\frac{3}{x+4} + 6$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$.
Горизонтальная асимптота: $y=6$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = -\frac{3}{x+4} + 6 \implies \frac{3}{x+4} = 6 \implies 3 = 6(x+4) \implies 3 = 6x+24 \implies 6x = -21 \implies x = -3.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-3.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -\frac{3}{0+4} + 6 = -\frac{3}{4} + 6 = \frac{21}{4} = 5.25$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 21/4)$.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=-4$ и $y=6$. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой "четвертях" относительно новой системы координат. Отмечаем точки пересечения $(-3.5, 0)$ и $(0, 5.25)$.

Ответ: Асимптоты: $x=-4$, $y=6$. Точка пересечения с осью Ox: $(-3.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 21/4)$.

---

в) Рассматриваем функцию $y = \frac{2}{x-1} - 4$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{2}{x-1} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x-1} \implies 4(x-1) = 2 \implies 4x-4 = 2 \implies 4x = 6 \implies x = 1.5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = \frac{2}{0-1} - 4 = -2 - 4 = -6$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=1$ и $y=-4$. Коэффициент $k=2$ положителен, поэтому ветви гиперболы располагаются в первой и третьей "четвертях" относительно асимптот. Отмечаем точки пересечения $(1.5, 0)$ и $(0, -6)$.

Ответ: Асимптоты: $x=1$, $y=-4$. Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

---

г) Рассматриваем функцию $y = -\frac{6}{x-3} - 2$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = -\frac{6}{x-3} - 2 \implies 2 = -\frac{6}{x-3} \implies 2(x-3) = -6 \implies 2x-6 = -6 \implies 2x=0 \implies x=0$.
Точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -\frac{6}{0-3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2-2=0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. График проходит через начало координат.

3. Схематический график.
Строим асимптоты $x=3$ и $y=-2$. Коэффициент $k=-6$ отрицателен, поэтому ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой "четвертях" относительно асимптот. Отмечаем точку $(0, 0)$.

Ответ: Асимптоты: $x=3$, $y=-2$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.