Номер 2, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 2, страница 77.

2 а) $y = |x| - 2x;$

б) $y = x^2 + 3|x|;$

в) $y = (5 - |x|)(|x| + 1);$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 3}}.$

а) Для того чтобы раскрыть модуль в выражении $y = |x| - 2x$, рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.
Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции, график которой состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

б) Функция $y = x^2 + 3|x|$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| = x^2 + 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Также можно использовать свойство $x^2 = |x|^2$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3(-x) = x^2 - 3x$.
Это вторая часть графика, симметричная первой относительно оси OY.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

в) Раскроем скобки в выражении $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$:
$y = 5|x| + 5 - |x|^2 - |x| = -|x|^2 + 4|x| + 5$.
Так как $x^2 = |x|^2$, можно записать $y = -x^2 + 4|x| + 5$.
Данная функция является четной, так как содержит $x$ только под знаком модуля или в четной степени.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = -x^2 + 4x + 5$.
Это часть параболы с ветвями вниз.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x^2 + 4(-x) + 5 = -x^2 - 4x + 5$.
Это вторая часть параболы, симметричная первой относительно оси OY.
Таким образом, функция задается кусочно:
$y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

г) Найдем область определения функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$. Функция определена, если ее знаменатель не обращается в ноль.
$|x| - 3 \ne 0 \implies |x| \ne 3$.
Это равносильно системе условий: $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочно-заданном виде.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{x - 3}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{-x - 3} = -\frac{1}{x + 3}$.
Объединив эти два случая с учетом области определения, получаем полное описание функции:
$y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \ge 0, x \ne 3 \\ -\frac{1}{x + 3}, & \text{если } x < 0, x \ne -3 \end{cases}$
Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Аналитическое выражение для функции: $y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \ge 0, x \ne 3 \\ -\frac{1}{x + 3}, & \text{если } x < 0, x \ne -3 \end{cases}$.