Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 а) $y = |2x - 4|$

б) $y = |x^2 - 3|$

в) $y = |x^2 - x - 2|$

г) $y = \frac{6}{|x|^6}$

д) $y = \frac{1}{\sqrt{|x - 3|}}$

а) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная функция $y = |2x - 4|$ содержит выражение $2x - 4$ под знаком модуля. Выражение $2x - 4$ является многочленом (линейной функцией), который определён для любых действительных значений $x$.Операция взятия модуля (абсолютной величины) также определена для любого действительного числа. Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ не накладывается. Область определения функции — все действительные числа. $D(y) = \mathbb{R}$ или в интервальной записи $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = |x^2 - 3|$ содержит под знаком модуля квадратичное выражение $x^2 - 3$.Выражение $x^2 - 3$ является многочленом, который определён для всех действительных чисел $x$. Операция взятия модуля определена для любого действительного числа. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения функции — все действительные числа. $D(y) = \mathbb{R}$ или в интервальной записи $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = |x^2 - x - 2|$ содержит под знаком модуля квадратичное выражение $x^2 - x - 2$. Это выражение является многочленом, который определён для всех действительных чисел $x$. Операция взятия модуля также определена для любого действительного числа. Следовательно, никаких ограничений на область определения функции нет. Область определения функции — все действительные числа.$D(y) = \mathbb{R}$ или в интервальной записи $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Данная функция $y = \frac{6}{|x|}$ является дробной. Основное ограничение для таких функций — знаменатель не должен быть равен нулю. Знаменатель данной функции равен $|x|$. Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:$|x| = 0$Это уравнение справедливо только при $x = 0$. Следовательно, это значение необходимо исключить из области определения. Область определения функции — все действительные числа, кроме $0$. $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ или в интервальной записи $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{1}{|x - 3|}$ является дробной. Функция определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель не равен нулю. Знаменатель функции равен $|x - 3|$. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:$|x - 3| = 0$$x - 3 = 0$$x = 3$Таким образом, функция не определена в точке $x = 3$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $3$. $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ или в интервальной записи $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2 а) $y = |x| - 2x;$

б) $y = x^2 + 3|x|;$

в) $y = (5 - |x|)(|x| + 1);$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 3}}.$

а) Для того чтобы раскрыть модуль в выражении $y = |x| - 2x$, рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.
Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции, график которой состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

б) Функция $y = x^2 + 3|x|$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| = x^2 + 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Также можно использовать свойство $x^2 = |x|^2$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3(-x) = x^2 - 3x$.
Это вторая часть графика, симметричная первой относительно оси OY.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

в) Раскроем скобки в выражении $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$:
$y = 5|x| + 5 - |x|^2 - |x| = -|x|^2 + 4|x| + 5$.
Так как $x^2 = |x|^2$, можно записать $y = -x^2 + 4|x| + 5$.
Данная функция является четной, так как содержит $x$ только под знаком модуля или в четной степени.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = -x^2 + 4x + 5$.
Это часть параболы с ветвями вниз.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x^2 + 4(-x) + 5 = -x^2 - 4x + 5$.
Это вторая часть параболы, симметричная первой относительно оси OY.
Таким образом, функция задается кусочно:
$y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

г) Найдем область определения функции $y = \frac{1}{|x| - 3}$. Функция определена, если ее знаменатель не обращается в ноль.
$|x| - 3 \ne 0 \implies |x| \ne 3$.
Это равносильно системе условий: $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочно-заданном виде.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{x - 3}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{-x - 3} = -\frac{1}{x + 3}$.
Объединив эти два случая с учетом области определения, получаем полное описание функции:
$y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \ge 0, x \ne 3 \\ -\frac{1}{x + 3}, & \text{если } x < 0, x \ne -3 \end{cases}$
Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Аналитическое выражение для функции: $y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \ge 0, x \ne 3 \\ -\frac{1}{x + 3}, & \text{если } x < 0, x \ne -3 \end{cases}$.

3 a) $y = ||x| - 3|$;

б) $y = |||x| - 3| - 3|$.

а) $y = ||x| - 3|$

Для построения графика функции $y = ||x| - 3|$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = |x|$.

1. Строим график функции $y_1 = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. Сдвигаем график $y_1 = |x|$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график функции $y_2 = |x| - 3$. Вершина графика смещается в точку $(0, -3)$. График пересекает ось Ox в точках, где $|x| - 3 = 0$, то есть при $|x| = 3$, что дает $x = -3$ и $x = 3$.

3. Применяем внешнее преобразование модуля: $y = |y_2| = ||x| - 3|$. Это означает, что часть графика $y_2 = |x| - 3|$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

   Часть графика $y_2 = |x| - 3$ находится ниже оси Ox на интервале $(-3, 3)$. Отражая эту часть, мы получаем следующее:

   • Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

   • Точки пересечения с осью Ox, $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, остаются на месте.

   • Части графика при $x \le -3$ и $x \ge 3$ остаются без изменений, так как на этих участках $y_2 \ge 0$.

Итоговый график имеет форму буквы "W". Он состоит из четырех линейных частей:

• при $x \le -3$, $y = -x - 3$

• при $-3 < x \le 0$, $y = -(-x - 3) = x + 3$

• при $0 < x < 3$, $y = -(x - 3) = -x + 3$

• при $x \ge 3$, $y = x - 3$

Ключевые точки графика: вершины в $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = ||x| - 3|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 3 единицы вниз и последующим отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График имеет W-образную форму с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

б) $y = |||x| - 3| - 3|$

Для построения графика функции $y = |||x| - 3| - 3|$ мы можем использовать результат из пункта а). Обозначим функцию из пункта а) как $y_a = ||x| - 3|$.

1. Начнем с графика функции $y_a = ||x| - 3|$. Как мы выяснили, это график в форме буквы "W" с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

2. Сдвигаем график $y_a$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график функции $y_b = ||x| - 3| - 3$.

   При этом сдвиге ключевые точки перемещаются следующим образом:

   • Вершина $(-3, 0)$ переходит в точку $(-3, -3)$.

   • Вершина $(0, 3)$ переходит в точку $(0, 0)$.

   • Вершина $(3, 0)$ переходит в точку $(3, -3)$.

   График $y_b$ пересекает ось Ox в точках, где $||x| - 3| - 3 = 0$. Это уравнение равносильно $||x| - 3| = 3$. Раскрывая внешний модуль, получаем два случая:

   1. $|x| - 3 = 3 \Rightarrow |x| = 6 \Rightarrow x = -6$ или $x = 6$.

   2. $|x| - 3 = -3 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0$.

   Таким образом, точки пересечения с осью Ox для $y_b$ это $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

3. Применяем последнее, самое внешнее, преобразование модуля: $y = |y_b| = |||x| - 3| - 3|$. Части графика $y_b$, которые находятся ниже оси Ox, симметрично отражаются относительно этой оси.

   График $y_b$ находится ниже оси Ox на интервалах $(-6, 0)$ и $(0, 6)$. Отразим эти части:

   • Точки $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$ остаются на месте.

   • Точка локального минимума $(-3, -3)$ отражается в точку локального максимума $(-3, 3)$.

   • Точка локального минимума $(3, -3)$ отражается в точку локального максимума $(3, 3)$.

   • Части графика при $x \le -6$ и $x \ge 6$ остаются без изменений, так как на этих участках $y_b \ge 0$.

Итоговый график имеет более сложную форму, похожую на две соединенные буквы "W". Ключевые точки итогового графика:

• Точки пересечения (и касания) с осью Ox: $(-6, 0)$, $(0, 0)$, $(6, 0)$.

• Вершины (локальные максимумы): $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.

• Вершина (локальный минимум): $(0, 0)$.

График также симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = |||x| - 3| - 3|$ получается из графика $y = ||x| - 3|$ (W-образный график из пункта а)) сдвигом на 3 единицы вниз и последующим отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. Итоговый график имеет локальные максимумы в точках $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ и касается оси Ox в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

4 а) $|y| = |x|$;

б) $|y| \cdot |x| = 1$;

в) $|y| + |x| = 1$;

г) $|y| - |x| = 1$.

Указание. Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

а) Для построения графика уравнения $|y| = |x|$ рассмотрим его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули в соответствии со знаками переменных $x$ и $y$.
1. В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $y = x$.
2. Во II четверти ($x \le 0, y \ge 0$): уравнение принимает вид $y = -x$.
3. В III четверти ($x \le 0, y \le 0$): уравнение принимает вид $-y = -x$, что равносильно $y = x$.
4. В IV четверти ($x \ge 0, y \le 0$): уравнение принимает вид $-y = x$, что равносильно $y = -x$.
В результате объединения графиков для всех четвертей получаются две прямые, которые пересекаются в начале координат.
Ответ: Графиком уравнения является совокупность двух прямых $y = x$ и $y = -x$, которые являются биссектрисами I, II, III и IV координатных углов.

б) Уравнение $|y| \cdot |x| = 1$ можно записать в виде $|xy| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $xy = 1$ и $xy = -1$. Рассмотрим, как это выглядит в каждой четверти.
1. В I четверти ($x > 0, y > 0$): $xy = 1 \implies y = 1/x$. Это ветвь гиперболы.
2. Во II четверти ($x < 0, y > 0$): $(-x)y = 1 \implies y = -1/x$. Это также ветвь гиперболы.
3. В III четверти ($x < 0, y < 0$): $(-x)(-y) = 1 \implies xy = 1 \implies y = 1/x$.
4. В IV четверти ($x > 0, y < 0$): $x(-y) = 1 \implies y = -1/x$.
Ответ: Графиком является объединение двух гипербол: $y = 1/x$ (с ветвями в I и III координатных четвертях) и $y = -1/x$ (с ветвями во II и IV координатных четвертях).

в) Для построения графика уравнения $|y| + |x| = 1$ раскроем модули в каждой из координатных четвертей.
1. В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + x = 1 \implies y = -x + 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.
2. Во II четверти ($x \le 0, y \ge 0$): $y - x = 1 \implies y = x + 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
3. В III четверти ($x \le 0, y \le 0$): $-y - x = 1 \implies y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.
4. В IV четверти ($x \ge 0, y \le 0$): $-y + x = 1 \implies y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.
Объединение этих четырех отрезков образует замкнутую фигуру.
Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

г) Уравнение $|y| - |x| = 1$ можно переписать как $|y| = |x| + 1$. Из этого следует, что $|y| \ge 1$, то есть $y \ge 1$ или $y \le -1$. Это означает, что график не имеет точек в горизонтальной полосе $-1 < y < 1$.
1. Для верхней полуплоскости ($y \ge 1$), уравнение принимает вид $y = |x| + 1$. Этот график представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Он состоит из двух лучей: $y = x + 1$ при $x \ge 0$ (I четверть) и $y = -x + 1$ при $x \le 0$ (II четверть).
2. Для нижней полуплоскости ($y \le -1$), уравнение принимает вид $-y = |x| + 1$, что равносильно $y = -|x| - 1$. Этот график представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вниз. Он состоит из двух лучей: $y = -x - 1$ при $x \ge 0$ (IV четверть) и $y = x - 1$ при $x \le 0$ (III четверть).
Ответ: Графиком является объединение двух "уголков": один с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями вверх (задается уравнением $y=|x|+1$), другой с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями вниз (задается уравнением $y=-|x|-1$).