Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

7 Постройте график функции: a) $y = x^2 - 4x - 5$; б) $y = -0,5x^2 + 2x.$

В каждом случае укажите:

1) нули функции;

2) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

3) значения $x$, при которых $y > 0, y < 0.

a) $y = x^2 - 4x - 5$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика и анализа функции найдем ее основные характеристики.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Вершина находится в точке $(2, -9)$.

Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = -5$. Точка $(0, -5)$.

Точки пересечения с осью Ox (нули функции, при $y=0$): решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

Используя найденные точки (вершина $(2, -9)$, пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$), можно построить график.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) нули функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых $y=0$. Мы нашли их, определяя точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x = -1, x = 5$.

2) при каком значении x функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 2$.

Ответ: функция принимает наименьшее значение при $x = 2$.

3) значения x, при которых y > 0, y < 0.

Исходя из того, что ветви параболы направлены вверх и она пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$:

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси Ox, то есть на интервалах левее и правее корней.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 5)$.

б) $y = -0,5x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен -0,5 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и анализа функции найдем ее основные характеристики.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{-1} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = -0,5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$.

Вершина находится в точке $(2, 2)$.

Точки пересечения с осями координат (нули функции, при $y=0$): решаем уравнение $-0,5x^2 + 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(-0,5x + 2) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $-0,5x + 2 = 0 \Rightarrow 0,5x = 2 \Rightarrow x_2 = 4$.

Точки пересечения с осями Ox и Oy: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Используя найденные точки (вершина $(2, 2)$, пересечения с осью Ox $(0, 0)$ и $(4, 0)$), можно построить график.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) нули функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых $y=0$.

Ответ: $x = 0, x = 4$.

2) при каком значении x функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 2$.

Ответ: функция принимает наибольшее значение при $x = 2$.

3) значения x, при которых y > 0, y < 0.

Исходя из того, что ветви параболы направлены вниз и она пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=4$:

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси Ox, то есть между корнями.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси Ox, то есть на интервалах левее и правее корней.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

8. Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 2x + 3;$

б) $y = -x^2 + x - 1.$

В каждом случае опишите свойства функции.

а) $y = x^2 - 2x + 3$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$.

Построение графика:

1. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
   $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
   $y_v = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
   Координаты вершины: $(1, 2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.
3. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
   Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось Ox.
4. Для более точного построения найдём несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=1$.
   Точка $(0, 3)$ находится на расстоянии 1 от оси симметрии. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x=2$. Ордината будет та же: $y=3$. Точка $(2, 3)$.
   Возьмём $x=-1$: $y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$. Точка $(-1, 6)$.
   Симметричная ей точка будет $x=3$, $y=6$. Точка $(3, 6)$.
5. Отметим на координатной плоскости вершину $(1, 2)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(-1, 6)$, $(3, 6)$ и соединим их плавной кривой.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1$. Минимальное значение функции $y_{min} = 2$.
• Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Функция положительна на всей области определения, убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; +\infty)$. Минимальное значение функции равно 2.

б) $y = -x^2 + x - 1$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$, $c = -1$.

Построение графика:

1. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
   $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
   $y_v = -(0.5)^2 + 0.5 - 1 = -0.25 + 0.5 - 1 = -0.75$.
   Координаты вершины: $(0.5, -0.75)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.
3. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -0^2 + 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + x - 1 = 0$ или $x^2 - x + 1 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
   Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось Ox.
4. Найдём несколько дополнительных точек, используя симметрию относительно оси $x=0.5$.
   Точка $(0, -1)$ симметрична точке $(1, -1)$.
   Возьмём $x=2$: $y = -(2)^2 + 2 - 1 = -4 + 2 - 1 = -3$. Точка $(2, -3)$.
   Симметричная ей точка будет при $x = 0.5 - (2-0.5) = -1$, $y=-3$. Точка $(-1, -3)$.
5. Отметим на координатной плоскости вершину $(0.5, -0.75)$ и точки $(0, -1)$, $(1, -1)$, $(2, -3)$, $(-1, -3)$ и соединим их плавной кривой.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; -0.75]$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и убывает на промежутке $[0.5; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 0.5$. Максимальное значение функции $y_{max} = -0.75$.
• Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y = -x^2 + x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0.5, -0.75)$ и ветвями, направленными вниз. Функция отрицательна на всей области определения, возрастает на $(-\infty; 0.5]$ и убывает на $[0.5; +\infty)$. Максимальное значение функции равно -0.75.

Решите квадратное неравенство:

а) $x^2 + 3x - 28 < 0;$

б) $-2x^2 + 10x - 12 \leq 0;$

в) $2x^2 + 2x > 0;$

г) $x^2 + 2x + 3 \leq 0;$

д) $x^2 \geq 0,25;$

е) $3x > x^2.$

а) $x^2 + 3x - 28 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 28$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось Ох в точках -7 и 4. Неравенство имеет знак < 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-7; 4)$.

б) $-2x^2 + 10x - 12 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках 2 и 3. Неравенство имеет знак $\ge$ 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.

в) $2x^2 + 2x > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 + x > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках -1 и 0. Неравенство имеет знак > 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ох. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty)$.

г) $x^2 + 2x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0). Это означает, что парабола полностью расположена выше оси Ох и принимает только положительные значения. Неравенство требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно.

Ответ: Нет решений.

д) $x^2 \ge 0,25$

Перенесем 0,25 в левую часть:

$x^2 - 0,25 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 0,25 = 0$.

$x^2 = 0,25$

$x_1 = -0,5$, $x_2 = 0,5$.

Графиком функции $y = x^2 - 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках -0,5 и 0,5. Неравенство имеет знак $\ge$ 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [0,5; \infty)$.

е) $3x > x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$0 > x^2 - 3x$

$x^2 - 3x < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках 0 и 3. Неравенство имеет знак < 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (0; 3)$.