Номер 7, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 2. Квадратичная функция - номер 7, страница 80.

7 Постройте график функции: a) $y = x^2 - 4x - 5$; б) $y = -0,5x^2 + 2x.$

В каждом случае укажите:

1) нули функции;

2) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

3) значения $x$, при которых $y > 0, y < 0.

a) $y = x^2 - 4x - 5$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика и анализа функции найдем ее основные характеристики.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Вершина находится в точке $(2, -9)$.

Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = -5$. Точка $(0, -5)$.

Точки пересечения с осью Ox (нули функции, при $y=0$): решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

Используя найденные точки (вершина $(2, -9)$, пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$), можно построить график.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) нули функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых $y=0$. Мы нашли их, определяя точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x = -1, x = 5$.

2) при каком значении x функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 2$.

Ответ: функция принимает наименьшее значение при $x = 2$.

3) значения x, при которых y > 0, y < 0.

Исходя из того, что ветви параболы направлены вверх и она пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$:

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси Ox, то есть на интервалах левее и правее корней.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 5)$.

---

б) $y = -0,5x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен -0,5 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и анализа функции найдем ее основные характеристики.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{-1} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = -0,5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$.

Вершина находится в точке $(2, 2)$.

Точки пересечения с осями координат (нули функции, при $y=0$): решаем уравнение $-0,5x^2 + 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(-0,5x + 2) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $-0,5x + 2 = 0 \Rightarrow 0,5x = 2 \Rightarrow x_2 = 4$.

Точки пересечения с осями Ox и Oy: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Используя найденные точки (вершина $(2, 2)$, пересечения с осью Ox $(0, 0)$ и $(4, 0)$), можно построить график.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) нули функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых $y=0$.

Ответ: $x = 0, x = 4$.

2) при каком значении x функция принимает наименьшее (или наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 2$.

Ответ: функция принимает наибольшее значение при $x = 2$.

3) значения x, при которых y > 0, y < 0.

Исходя из того, что ветви параболы направлены вниз и она пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=4$:

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси Ox, то есть между корнями.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси Ox, то есть на интервалах левее и правее корней.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.