Номер 9, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 2. Квадратичная функция - номер 9, страница 80.

Решите квадратное неравенство:

а) $x^2 + 3x - 28 < 0;$

б) $-2x^2 + 10x - 12 \leq 0;$

в) $2x^2 + 2x > 0;$

г) $x^2 + 2x + 3 \leq 0;$

д) $x^2 \geq 0,25;$

е) $3x > x^2.$

а) $x^2 + 3x - 28 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 28$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось Ох в точках -7 и 4. Неравенство имеет знак < 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-7; 4)$.

б) $-2x^2 + 10x - 12 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках 2 и 3. Неравенство имеет знак $\ge$ 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.

в) $2x^2 + 2x > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 + x > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках -1 и 0. Неравенство имеет знак > 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ох. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty)$.

г) $x^2 + 2x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0). Это означает, что парабола полностью расположена выше оси Ох и принимает только положительные значения. Неравенство требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно.

Ответ: Нет решений.

д) $x^2 \ge 0,25$

Перенесем 0,25 в левую часть:

$x^2 - 0,25 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 0,25 = 0$.

$x^2 = 0,25$

$x_1 = -0,5$, $x_2 = 0,5$.

Графиком функции $y = x^2 - 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках -0,5 и 0,5. Неравенство имеет знак $\ge$ 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [0,5; \infty)$.

е) $3x > x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$0 > x^2 - 3x$

$x^2 - 3x < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках 0 и 3. Неравенство имеет знак < 0, значит, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (0; 3)$.