Номер 202, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 202, страница 85.

202 Какова область определения выражения:

а) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + x}$;

б) $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$;

в) $\frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$;

г) $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x - 1}$?

а) Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл. В данном выражении $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + x}$ присутствуют два знаменателя, которые не должны равняться нулю:
1. Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби: $1 + x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $-1$ и $0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) В выражении $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$ присутствуют два знаменателя, которые не должны равняться нулю:
1. Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби: $1 - \frac{1}{x} \neq 0$. Решим это неравенство: $1 \neq \frac{1}{x}$, что равносильно $x \neq 1$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $0$ и $1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Выражение $\frac{x+3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$ определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Первый знаменатель: $x^2 - x - 20 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $-20$, а их сумма равна $1$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Значит, $x \neq 5$ и $x \neq -4$.
2. Второй знаменатель: $x^2 - 9 \neq 0$. Это разность квадратов: $(x-3)(x+3) \neq 0$. Отсюда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Объединяя все условия, получаем, что область определения — это все действительные числа, кроме $-4, -3, 3, 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) Выражение $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x - 1}$ определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Первый знаменатель: $2x^2 + x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(2x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, т.е. $x \neq -0.5$.
2. Второй знаменатель: $2x^2 - x - 1 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. Корни $x = \frac{-(-1) \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -0.5$.
Объединяя все ограничения ($x \neq 0, x \neq -0.5, x \neq 1$), получаем, что область определения — это все действительные числа, кроме $-0.5, 0, 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.