Страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

197 Дано выражение и указано несколько значений переменной. Все ли они являются допустимыми? Для каждого допустимого значения переменной вычислите соответствующее значение данного выражения:

a) $ \frac{3x - 1}{x} $; $ x = -1; 0; \frac{1}{3}; 3; $

б) $ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} $; $ x = -1; 0; \frac{1}{2}; 1; $

в) $ \frac{x}{x^2 - 1} $; $ x = -2; -1; 0; 1; $

г) $ \frac{x^2 + 3}{x^2 + 9} $; $ x = -3; -1; 0; 3. $

а) Для выражения $\frac{3x - 1}{x}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.
Из предложенных значений $x = -1; 0; \frac{1}{3}; 3$, значение $x=0$ является недопустимым, так как приводит к делению на ноль.
Остальные значения являются допустимыми. Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -1$, то $\frac{3(-1) - 1}{-1} = \frac{-3 - 1}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$.
Если $x = \frac{1}{3}$, то $\frac{3 \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{1}{3}} = 0$.
Если $x = 3$, то $\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: Не все значения являются допустимыми; $x=0$ – недопустимое значение. Для допустимых значений: при $x=-1$ выражение равно 4; при $x=\frac{1}{3}$ – 0; при $x=3$ – $\frac{8}{3}$.

б) Для выражения $\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3}$, знаменатели являются числами (2 и 3) и не содержат переменную. Деления на ноль произойти не может. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Все предложенные значения $x = -1; 0; \frac{1}{2}; 1$ являются допустимыми.
Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -1$, то $\frac{(-1)^2}{2} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0^2}{2} - \frac{0}{3} = 0 - 0 = 0$.
Если $x = \frac{1}{2}$, то $\frac{(\frac{1}{2})^2}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{8} - \frac{1}{6} = \frac{3}{24} - \frac{4}{24} = -\frac{1}{24}$.
Если $x = 1$, то $\frac{1^2}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: Все значения являются допустимыми. При $x=-1$ выражение равно $\frac{5}{6}$; при $x=0$ – 0; при $x=\frac{1}{2}$ – $-\frac{1}{24}$; при $x=1$ – $\frac{1}{6}$.

в) Для выражения $\frac{x}{x^2 - 1}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель $x^2 - 1$ в ноль.
Решим уравнение $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$.
Из предложенных значений $x = -2; -1; 0; 1$, значения $x=-1$ и $x=1$ являются недопустимыми.
Остальные значения $x=-2$ и $x=0$ являются допустимыми. Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -2$, то $\frac{-2}{(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{4 - 1} = -\frac{2}{3}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0}{0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: Не все значения являются допустимыми; $x=-1$ и $x=1$ – недопустимые значения. Для допустимых значений: при $x=-2$ выражение равно $-\frac{2}{3}$; при $x=0$ – 0.

г) Для выражения $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 9}$, допустимыми являются все значения переменной $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель $x^2 + 9$ в ноль.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$). Поэтому знаменатель $x^2 + 9$ всегда будет больше или равен 9, и никогда не будет равен нулю.
Следовательно, все предложенные значения $x = -3; -1; 0; 3$ являются допустимыми.
Вычислим значение выражения для них:
Если $x = -3$, то $\frac{(-3)^2 + 3}{(-3)^2 + 9} = \frac{9 + 3}{9 + 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Если $x = -1$, то $\frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 9} = \frac{1 + 3}{1 + 9} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Если $x = 0$, то $\frac{0^2 + 3}{0^2 + 9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Если $x = 3$, то $\frac{3^2 + 3}{3^2 + 9} = \frac{9 + 3}{9 + 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Все значения являются допустимыми. При $x=-3$ выражение равно $\frac{2}{3}$; при $x=-1$ – $\frac{2}{5}$; при $x=0$ – $\frac{1}{3}$; при $x=3$ – $\frac{2}{3}$.

198 Выясните, имеет ли смысл выражение при указанных значениях переменных, и если имеет, вычислите его соответствующее значение:

a) $\frac{x + y}{xy}$; 1) $x = 5, y = -5$; 2) $x = 0, y = 3$; 3) $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$;

б) $\frac{x(x - 1)}{y(y - 1)}$; 1) $x = 1, y = -1$; 2) $x = -1, y = 2$; 3) $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{4}$.

а)

1) При $x = 5, y = -5$.
Выражение $\frac{x+y}{xy}$ имеет смысл, так как его знаменатель $xy = 5 \cdot (-5) = -25 \neq 0$.
Значение выражения: $\frac{5 + (-5)}{-25} = \frac{0}{-25} = 0$.
Ответ: 0.

2) При $x = 0, y = 3$.
Знаменатель выражения $\frac{x+y}{xy}$ равен $xy = 0 \cdot 3 = 0$. Деление на ноль не определено, поэтому выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

3) При $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$.
Выражение $\frac{x+y}{xy}$ имеет смысл, так как его знаменатель $xy = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \neq 0$.
Значение выражения: $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{5}{6} \cdot 6 = 5$.
Ответ: 5.

б)

1) При $x = 1, y = -1$.
Выражение $\frac{x(x-1)}{y(y-1)}$ имеет смысл, так как его знаменатель $y(y-1) = -1(-1-1) = -1 \cdot (-2) = 2 \neq 0$.
Значение выражения: $\frac{1(1-1)}{2} = \frac{1 \cdot 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Ответ: 0.

2) При $x = -1, y = 2$.
Выражение $\frac{x(x-1)}{y(y-1)}$ имеет смысл, так как его знаменатель $y(y-1) = 2(2-1) = 2 \cdot 1 = 2 \neq 0$.
Значение выражения: $\frac{-1(-1-1)}{2} = \frac{-1(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: 1.

3) При $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{4}$.
Выражение $\frac{x(x-1)}{y(y-1)}$ имеет смысл, так как его знаменатель $y(y-1) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1) = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{16} \neq 0$.
Значение выражения: $\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{-\frac{3}{16}} = \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{-\frac{3}{16}} = \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{3}{16}} = (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{16}{3}) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

199 Найдите область определения выражения (№ 199, 200):

а) $\frac{a^2 - 1}{(a + 2)(3 - a)}$;

б) $\frac{4a}{a^2 - 4}$;

в) $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$;

г) $\frac{a - 5}{a^2}$;

д) $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$;

е) $\frac{a + 4}{a^2 - 5a + 6}$;

ж) $(3a + 2)^2$;

з) $2a^{-2} - 4$.

а) Данное выражение $\frac{a^2 - 1}{(a + 2)(3 - a)}$ является дробно-рациональным. Область определения такого выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $a$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$(a + 2)(3 - a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$a + 2 = 0$, откуда $a = -2$.
$3 - a = 0$, откуда $a = 3$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $a = -2$ и $a = 3$.
Ответ: все числа, кроме -2 и 3.

б) Выражение $\frac{4a}{a^2 - 4}$ является дробью. Оно определено для всех значений $a$, при которых знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:
$a^2 - 4 = 0$
$(a - 2)(a + 2) = 0$
Отсюда $a - 2 = 0$ или $a + 2 = 0$.
Получаем $a = 2$ и $a = -2$.
Значит, область определения — это все числа, за исключением 2 и -2.
Ответ: все числа, кроме -2 и 2.

в) В выражении $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$ знаменатель равен $a^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то $a^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, выражение определено для любых действительных значений $a$.
Ответ: все числа.

г) Выражение $\frac{a - 5}{a^2}$ определено для всех $a$, при которых знаменатель $a^2$ не равен нулю.
$a^2 = 0$
Это уравнение имеет единственный корень $a = 0$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: все числа, кроме 0.

д) В выражении $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$ знаменатель представляет собой квадрат разности: $1 - 2a + a^2 = (1 - a)^2$. Выражение определено, если знаменатель не равен нулю.
$(1 - a)^2 = 0$
$1 - a = 0$
$a = 1$
Область определения — это все действительные числа, кроме 1.
Ответ: все числа, кроме 1.

е) Для нахождения области определения выражения $\frac{a + 4}{a^2 - 5a + 6}$ нужно, чтобы знаменатель $a^2 - 5a + 6$ не был равен нулю. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.
Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $a = 2$ и $a = 3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: все числа, кроме 2 и 3.

ж) Выражение $(3a + 2)^2$ является многочленом (в данном случае, после раскрытия скобок, получится квадратный трехчлен $9a^2 + 12a + 4$). Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как для их вычисления выполняются только операции умножения, сложения и вычитания, которые определены для всех чисел.
Ответ: все числа.

з) Выражение $2a^{-2} - 4$ содержит степень с отрицательным показателем. По определению, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Таким образом, выражение можно переписать в виде $\frac{2}{a^2} - 4$.
Это выражение определено, когда знаменатель $a^2$ не равен нулю.
$a^2 = 0 \Rightarrow a = 0$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: все числа, кроме 0.

Найдите область определения выражения (№ 199, 200):

200 а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x - 3}$;

б) $2x - \frac{2x}{x + 2}$;

в) $\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{x}{x + 1}$.

а)

Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл. Выражение $\frac{1}{x} + \frac{x}{x-3}$ представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим каждую дробь отдельно:

1. Для первой дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель равен $x$. Следовательно, должно выполняться условие $x \neq 0$.

2. Для второй дроби $\frac{x}{x-3}$ знаменатель равен $x-3$. Следовательно, должно выполняться условие $x-3 \neq 0$, из которого следует, что $x \neq 3$.

Чтобы все выражение имело смысл, должны выполняться оба условия одновременно. Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме $0$ и $3$.

Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

б)

Данное выражение $2x - \frac{2x}{x+2}$ является разностью многочлена $2x$ и алгебраической дроби $\frac{2x}{x+2}$.

Многочлен $2x$ определен для любых действительных значений переменной $x$.

Дробь $\frac{2x}{x+2}$ имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель этой дроби равен $x+2$.

Поэтому необходимо выполнение условия $x+2 \neq 0$. Решая это неравенство, получаем $x \neq -2$.

Следовательно, область определения всего выражения — это все действительные числа, кроме $-2$.

Ответ: $x \neq -2$.

в)

Выражение $\frac{x}{x^2-1} - \frac{x}{x+1}$ представляет собой разность двух алгебраических дробей. Область определения находится из условия, что знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю.

1. Рассмотрим знаменатель первой дроби $\frac{x}{x^2-1}$. Он равен $x^2-1$. Условие $x^2-1 \neq 0$. Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x+1) \neq 0$. Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. Отсюда получаем два условия: $x-1 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$) и $x+1 \neq 0$ (то есть $x \neq -1$).

2. Рассмотрим знаменатель второй дроби $\frac{x}{x+1}$. Он равен $x+1$. Условие $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Для того чтобы исходное выражение имело смысл, необходимо, чтобы все найденные условия выполнялись одновременно. Объединив их ($x \neq 1$, $x \neq -1$ и $x \neq -1$), получаем, что $x$ не должен быть равен $1$ и $-1$.

Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

201 На рисунке 3.2 схематически изображены гиперболы — графики функций $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x - 1}$, $y = \frac{1}{x + 1}$. Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 3.2

Чтобы соотнести графики с формулами, проанализируем каждую функцию и ее график. Все три функции являются гиперболами, полученными из базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига по горизонтали.

На этом графике изображена гипербола, у которой вертикальная асимптота (пунктирная линия, к которой стремится график, но не пересекает ее) проходит через точку $x=1$. Это означает, что знаменатель функции обращается в ноль при $x=1$.
Рассмотрим предложенные формулы:

• $y = \frac{1}{x}$: знаменатель равен нулю при $x=0$.
• $y = \frac{1}{x-1}$: знаменатель равен нулю при $x-1=0$, то есть $x=1$. Это соответствует графику.
• $y = \frac{1}{x+1}$: знаменатель равен нулю при $x+1=0$, то есть $x=-1$.

Таким образом, график ① соответствует функции $y = \frac{1}{x-1}$. Этот график получен сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо.
Ответ: $y = \frac{1}{x-1}$.

На этом графике изображена стандартная гипербола. Вертикальная асимптота графика — это ось $y$, то есть прямая $x=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.
Это в точности соответствует графику функции $y = \frac{1}{x}$. Знаменатель $x$ обращается в ноль при $x=0$.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

На этом графике вертикальная асимптота проходит через точку $x=-1$. Это означает, что знаменатель функции обращается в ноль при $x=-1$.
Рассмотрим формулы:

• $y = \frac{1}{x}$: знаменатель равен нулю при $x=0$.
• $y = \frac{1}{x-1}$: знаменатель равен нулю при $x=1$.
• $y = \frac{1}{x+1}$: знаменатель равен нулю при $x+1=0$, то есть $x=-1$. Это соответствует графику.

Следовательно, график ③ соответствует функции $y = \frac{1}{x+1}$. Этот график получен сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево.
Ответ: $y = \frac{1}{x+1}$.

202 Какова область определения выражения:

а) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + x}$;

б) $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$;

в) $\frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$;

г) $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x - 1}$?

а) Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл. В данном выражении $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + x}$ присутствуют два знаменателя, которые не должны равняться нулю:
1. Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби: $1 + x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $-1$ и $0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) В выражении $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$ присутствуют два знаменателя, которые не должны равняться нулю:
1. Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби: $1 - \frac{1}{x} \neq 0$. Решим это неравенство: $1 \neq \frac{1}{x}$, что равносильно $x \neq 1$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $0$ и $1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Выражение $\frac{x+3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$ определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Первый знаменатель: $x^2 - x - 20 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $-20$, а их сумма равна $1$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Значит, $x \neq 5$ и $x \neq -4$.
2. Второй знаменатель: $x^2 - 9 \neq 0$. Это разность квадратов: $(x-3)(x+3) \neq 0$. Отсюда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Объединяя все условия, получаем, что область определения — это все действительные числа, кроме $-4, -3, 3, 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) Выражение $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x - 1}$ определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Первый знаменатель: $2x^2 + x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(2x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, т.е. $x \neq -0.5$.
2. Второй знаменатель: $2x^2 - x - 1 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. Корни $x = \frac{-(-1) \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -0.5$.
Объединяя все ограничения ($x \neq 0, x \neq -0.5, x \neq 1$), получаем, что область определения — это все действительные числа, кроме $-0.5, 0, 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.