Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

203 Выясните, какова область определения данного выражения, и укажите несколько пар значений переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Образец. Областью определения выражения $\frac{xy}{x + 2y}$ служит множество пар $(x; y)$, таких, что $x + 2y \neq 0$, т.е. таких, в которых $y \neq -\frac{x}{2}$.

а) $\frac{xy}{x - y}$;

б) $\frac{x - y}{x + y}$;

в) $\frac{x + 2y}{2x - y}$;

г) $\frac{x^2 + y^2}{xy}$;

д) $\frac{x + y}{x^2 + y^2}$.

а) Областью определения данного выражения является множество всех пар чисел $(x; y)$, при которых знаменатель $x - y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $x - y = 0$, то есть при $x = y$.
Таким образом, область определения — это все пары $(x; y)$, в которых $x \neq y$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(2; 2)$, $( -5; -5)$, $(10; 10)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $x \neq y$.

б) Выражение определено, когда его знаменатель $x + y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $x + y = 0$, то есть при $y = -x$.
Следовательно, область определения — это множество всех пар $(x; y)$, для которых $y \neq -x$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(3; -3)$, $( -1; 1)$, $(8; -8)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $y \neq -x$.

в) Выражение определено, когда его знаменатель $2x - y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $2x - y = 0$, то есть при $y = 2x$.
Область определения — это множество всех пар $(x; y)$, для которых $y \neq 2x$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(1; 2)$, $(3; 6)$, $(-4; -8)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $y \neq 2x$.

г) Знаменатель выражения $xy$ не должен равняться нулю. Произведение $xy=0$ в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x = 0$ или $y = 0$.
Следовательно, область определения — это все пары чисел $(x; y)$, в которых $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(0; 7)$, $(5; 0)$, $(0; -3)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

д) Знаменатель выражения $x^2 + y^2$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных чисел, их сумма $x^2 + y^2$ равна нулю только в единственном случае, когда $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$ одновременно, то есть $x=0$ и $y=0$.
Таким образом, область определения — это все пары чисел $(x; y)$, за исключением пары $(0; 0)$.
Существует только одна пара значений, при которой выражение не имеет смысла: $(0; 0)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, кроме $(0; 0)$.

204 Для каждой из функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, заданных формулами, укажите соответствующий график, если известно, что:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ (рис. 3.3);

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ (рис. 3.4).

Puc. 3.3

Puc. 3.4

а) Рассмотрим функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ и графики на рис. 3.3.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ область определения исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 - 1 = 0$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Это означает, что у графика функции $f(x)$ есть две вертикальные асимптоты: $x = -1$ и $x = 1$. Такой вид имеет график под номером (2). Кроме того, найдем значение функции при $x=0$: $f(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = -1$. Это соответствует точке $(0, -1)$ на графике (2).

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$) и никогда не обращается в ноль. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, и у ее графика нет вертикальных асимптот. Этому условию соответствует график под номером (1). Найдем значение функции при $x=0$: $g(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$. Это точка максимума на графике (1).

Таким образом, график функции $y = f(x)$ — это график (2), а график функции $y = g(x)$ — это график (1).

Ответ: для $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ — график (2); для $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ — график (1).

б) Рассмотрим функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и графики на рис. 3.4.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ преобразуем знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Знаменатель обращается в ноль при $x=1$. Следовательно, у графика функции $g(x)$ есть вертикальная асимптота $x=1$. Этому соответствует график (2). Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для всех $x$, то и $g(x) \ge 0$ (кроме точки $x=1$). Это также соответствует графику (2), где обе ветви находятся выше оси Ox.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ исследуем знаменатель. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 2$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, знаменатель никогда не равен нулю, и вертикальных асимптот у графика нет. Этому соответствует график (1). Можно также выделить полный квадрат в знаменателе: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, минимальное значение знаменателя равно 1 и достигается при $x=1$. Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно $\frac{1}{1} = 1$ и достигается при $x=1$, что соответствует вершине на графике (1).

Таким образом, график функции $y = f(x)$ — это график (1), а график функции $y = g(x)$ — это график (2).

Ответ: для $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ — график (1); для $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ — график (2).

205 а) Преобразуйте в многочлен выражение

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b).$

Докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ значение выражения неотрицательно.

б) Преобразуйте в многочлен выражение

$(c + 2)(c - 2) - (2c - 1)(2c + 1) + 3.$

Докажите, что ни при каком значении $c$ значение выражения не может быть числом положительным.

а) Чтобы преобразовать выражение в многочлен, воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Подставим эти выражения в исходное:
$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 = (a^2 + a^2 - a^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 + b^2 + b^2) = a^2 + 3b^2$

Докажем, что полученный многочлен $a^2 + 3b^2$ неотрицателен при любых значениях $a$ и $b$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$.
Произведение положительного числа $3$ на неотрицательное число $b^2$ также является неотрицательным: $3b^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел ($a^2$ и $3b^2$) всегда неотрицательна: $a^2 + 3b^2 \ge 0$.
Следовательно, значение выражения неотрицательно при любых значениях $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^2 + 3b^2$.

б) Преобразуем выражение в многочлен, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для каждой пары скобок.
$(c + 2)(c - 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$
$(2c - 1)(2c + 1) = (2c)^2 - 1^2 = 4c^2 - 1$

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$(c + 2)(c - 2) - (2c - 1)(2c + 1) + 3 = (c^2 - 4) - (4c^2 - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$c^2 - 4 - 4c^2 + 1 + 3 = (c^2 - 4c^2) + (-4 + 1 + 3) = -3c^2$

Докажем, что при любом значении $c$ значение выражения $-3c^2$ не может быть положительным.
Квадрат любого действительного числа $c$ является неотрицательным числом: $c^2 \ge 0$.
При умножении неотрицательного числа $c^2$ на отрицательное число $-3$, результат всегда будет неположительным (то есть меньшим или равным нулю): $-3c^2 \le 0$.
Поскольку значение выражения всегда меньше или равно нулю, оно не может быть положительным числом ни при каком значении $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-3c^2$.

206 a) Преобразуйте в многочлен выражение

$(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13).$

Объясните, почему значение этого выражения ни при каком целом $n$ не делится на 6.

б) Преобразуйте в многочлен выражение

$6(n - 2)(n + 2) - (3n + 2)(2n + 3) - (5 - 18n).$

Докажите, что значение этого выражения при любом целом значении $n$ есть число, делящееся на 5.

а)

Первым шагом преобразуем данное выражение в многочлен. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

2. Второе слагаемое преобразуем с использованием формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$2(n + 3)(n - 3) = 2(n^2 - 3^2) = 2(n^2 - 9) = 2n^2 - 18$.

3. Раскроем последнюю скобку:
$-(5n + 13) = -5n - 13$.

4. Теперь объединим все полученные части и упростим выражение:
$(2n^2 + 11n + 5) - (2n^2 - 18) - (5n + 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$.

5. Сгруппируем подобные члены:
$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Полученный многочлен: $6n + 10$.

Теперь объясним, почему значение этого выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом значении $n$.
Выражение состоит из двух слагаемых: $6n$ и $10$.
Первое слагаемое, $6n$, очевидно, делится на 6 для любого целого $n$, так как является произведением 6 и целого числа.
Второе слагаемое, $10$, при делении на 6 дает в остатке 4 ($10 = 6 \cdot 1 + 4$).
Следовательно, вся сумма $6n + 10$ при делении на 6 будет давать такой же остаток, как и 10, то есть 4. Поскольку остаток от деления на 6 не равен нулю, выражение $6n + 10$ не делится на 6 нацело ни при каком целом $n$.

Ответ: многочлен $6n + 10$; значение выражения не делится на 6, так как при любом целом $n$ оно представляет собой сумму числа $6n$, кратного 6, и числа 10, которое не кратно 6, и при делении на 6 всегда дает остаток 4.

б)

Преобразуем данное выражение в многочлен, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $6(n - 2)(n + 2) - (3n + 2)(2n + 3) - (5 - 18n)$.

1. Используем формулу разности квадратов для первого слагаемого:
$6(n - 2)(n + 2) = 6(n^2 - 2^2) = 6(n^2 - 4) = 6n^2 - 24$.

2. Раскроем произведение скобок во втором слагаемом:
$(3n + 2)(2n + 3) = 3n \cdot 2n + 3n \cdot 3 + 2 \cdot 2n + 2 \cdot 3 = 6n^2 + 9n + 4n + 6 = 6n^2 + 13n + 6$.

3. Раскроем последнюю скобку:
$-(5 - 18n) = -5 + 18n$.

4. Подставим все в исходное выражение:
$(6n^2 - 24) - (6n^2 + 13n + 6) - (5 - 18n) = 6n^2 - 24 - 6n^2 - 13n - 6 - 5 + 18n$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - 6n^2) + (-13n + 18n) + (-24 - 6 - 5) = 0 + 5n - 35 = 5n - 35$.

Полученный многочлен: $5n - 35$.

Теперь докажем, что значение этого выражения делится на 5 при любом целом значении $n$.
Для этого вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5n - 35 = 5(n - 7)$.
Так как $n$ по условию является целым числом, то разность $(n - 7)$ также будет целым числом.
Таким образом, выражение $5(n - 7)$ представляет собой произведение числа 5 и целого числа $(n - 7)$. По определению делимости, такое произведение всегда делится на 5 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: многочлен $5n - 35$; значение выражения делится на 5 при любом целом $n$, так как его можно представить в виде $5(n - 7)$, где $(n - 7)$ — целое число.

207 Замените в выражении

$(2n + 3)^2 - (n + 2)(4n - 3) + A$

букву A таким многочленом, чтобы числовое значение получившегося выражения при любом целом $n$ делилось на 3. Дайте несколько ответов.

Для того чтобы числовое значение выражения $(2n + 3)^2 - (n + 2)(4n - 3) + A$ при любом целом $n$ делилось на 3, необходимо сначала упростить часть выражения, не содержащую $A$.

1. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала возведем в квадрат первый член, используя формулу квадрата суммы:

$(2n + 3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9$

Затем раскроем произведение скобок:

$(n + 2)(4n - 3) = n \cdot 4n - 3 \cdot n + 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3 = 4n^2 - 3n + 8n - 6 = 4n^2 + 5n - 6$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и упростим его:

$(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 5n - 6) = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 5n + 6 = (4n^2 - 4n^2) + (12n - 5n) + (9 + 6) = 7n + 15$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $7n + 15 + A$.

2. Проанализируем полученное выражение $7n + 15 + A$ на делимость на 3.

Слагаемое $15$ делится на 3, так как $15 = 3 \cdot 5$. Чтобы вся сумма делилась на 3, необходимо, чтобы сумма $7n + A$ также делилась на 3 при любом целом $n$.

Представим $7n$ как $6n + n$. Слагаемое $6n$ всегда делится на 3. Следовательно, выражение $6n + n + A$ будет делиться на 3, если сумма $n + A$ будет делиться на 3.

Итак, задача сводится к поиску такого многочлена $A$, чтобы выражение $n + A$ было кратно 3 для любого целого $n$. Приведем несколько примеров.

Пример 1

Выберем простейший многочлен $A = -n$. Проверим, выполняется ли наше условие: $n + A = n + (-n) = 0$. Ноль делится на 3, значит, условие выполняется. Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 - n = 6n + 15$

Выражение $6n + 15$ делится на 3 при любом целом $n$, так как оба слагаемых делятся на 3: $6n + 15 = 3(2n + 5)$.

Ответ: $A = -n$.

Пример 2

Пусть $A = 2n$. Проверим условие: $n + A = n + 2n = 3n$. Выражение $3n$ очевидно делится на 3 при любом целом $n$. Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + 2n = 9n + 15$

Выражение $9n + 15$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $9n + 15 = 3(3n + 5)$.

Ответ: $A = 2n$.

Пример 3

Можно выбрать многочлен $A$, который содержит константу. Главное, чтобы $n+A$ было кратно 3. Например, пусть $A = -n + 3$.

Проверим условие: $n + A = n + (-n + 3) = 3$. Число 3 делится на 3.

Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + (-n + 3) = 6n + 18$

Выражение $6n + 18$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $6n + 18 = 3(2n + 6)$.

Ответ: $A = -n + 3$.

Пример 4

В качестве $A$ можно взять любой многочлен вида $P(n) = 2n + 3k$ или $P(n) = -n + 3k$, где $k$ — любое целое число. Например, возьмем $A = 2n - 9$ (здесь $k=-3$).

Проверим условие: $n + A = n + (2n - 9) = 3n - 9$. Выражение $3n - 9 = 3(n-3)$ делится на 3.

Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + (2n - 9) = 9n + 6$

Выражение $9n + 6$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $9n + 6 = 3(3n + 2)$.

Ответ: $A = 2n - 9$.