Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

217 Запишите тождество, выражающее свойство:

1) 0 при сложении:

$a + 0 = a$

2) 1 при умножении:

$a \cdot 1 = a$

3) -1 при умножении:

$a \cdot (-1) = -a$

4) 0 при умножении:

$a \cdot 0 = 0$

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Для записи тождеств, выражающих указанные свойства, будем использовать переменную $a$, которая может принимать значение любого числа.

1) 0 при сложении:
Свойство нуля при сложении, также известное как свойство аддитивной единицы, гласит, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Ноль является нейтральным элементом относительно операции сложения.
Для любого числа $a$ это свойство выражается следующим тождеством:
$a + 0 = a$
Ответ: $a + 0 = a$.

2) 1 при умножении:
Свойство единицы при умножении, также известное как свойство мультипликативной единицы, гласит, что умножение любого числа на единицу не изменяет это число. Единица является нейтральным элементом относительно операции умножения.
Для любого числа $a$ это свойство выражается следующим тождеством:
$a \cdot 1 = a$
Ответ: $a \cdot 1 = a$.

3) –1 при умножении:
Свойство числа –1 при умножении заключается в том, что при умножении любого числа на –1 получается число, противоположное исходному. То есть, знак числа меняется на противоположный.
Для любого числа $a$ это свойство выражается тождеством:
$a \cdot (-1) = -a$
Ответ: $a \cdot (-1) = -a$.

4) 0 при умножении:
Свойство нуля при умножении, или поглощающее свойство нуля, гласит, что произведение любого числа на ноль всегда равно нулю.
Для любого числа $a$ это свойство выражается тождеством:
$a \cdot 0 = 0$
Ответ: $a \cdot 0 = 0$.

218 Свойства действий и правила преобразований на алгебраическом языке записывают в виде тождеств. Пользуясь тождествами $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ и $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$, представьте данную дробь в виде суммы или в виде разности дробей:

а) $\frac{a^2 + 3ac}{a^3}$;

б) $\frac{12a - c^2}{6ac}$;

в) $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$;

г) $\frac{a^2 - c^2}{ac}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся тождествами, которые позволяют представить дробь с суммой или разностью в числителе в виде суммы или разности дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ и $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$.

а) Представим дробь $\frac{a^2 + 3ac}{a^3}$ в виде суммы дробей. Для этого разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 + 3ac}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} + \frac{3ac}{a^3}$

Теперь сократим каждую из полученных дробей, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{3ac}{a^3} = \frac{3c}{a^{3-1}} = \frac{3c}{a^2}$

Таким образом, исходная дробь равна сумме:

$\frac{1}{a} + \frac{3c}{a^2}$

Ответ: $\frac{1}{a} + \frac{3c}{a^2}$

б) Представим дробь $\frac{12a - c^2}{6ac}$ в виде разности дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{12a - c^2}{6ac} = \frac{12a}{6ac} - \frac{c^2}{6ac}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{12a}{6ac} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a}{6 \cdot a \cdot c} = \frac{2}{c}$

$\frac{c^2}{6ac} = \frac{c \cdot c}{6 \cdot a \cdot c} = \frac{c}{6a}$

В результате получаем разность:

$\frac{2}{c} - \frac{c}{6a}$

Ответ: $\frac{2}{c} - \frac{c}{6a}$

в) Представим дробь $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$ в виде суммы дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 + b^2}{2ab} = \frac{a^2}{2ab} + \frac{b^2}{2ab}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{a^2}{2ab} = \frac{a \cdot a}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{a}{2b}$

$\frac{b^2}{2ab} = \frac{b \cdot b}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{b}{2a}$

Получаем сумму:

$\frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}$

Ответ: $\frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}$

г) Представим дробь $\frac{a^2 - c^2}{ac}$ в виде разности дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 - c^2}{ac} = \frac{a^2}{ac} - \frac{c^2}{ac}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{a^2}{ac} = \frac{a \cdot a}{a \cdot c} = \frac{a}{c}$

$\frac{c^2}{ac} = \frac{c \cdot c}{a \cdot c} = \frac{c}{a}$

В результате получаем разность:

$\frac{a}{c} - \frac{c}{a}$

Ответ: $\frac{a}{c} - \frac{c}{a}$

219. На основании какого свойства выполнено преобразование? Запишите тождество, выражающее это свойство:

а) $y(5x) = 5xy;$

б) $2z + 3z = 5z;$

в) $-2(-x) = 2x;$

г) $\frac{xy}{xz} = \frac{y}{z};$

д) $\frac{-x}{4} = -\frac{x}{4}.$

а) Преобразование выполнено на основании сочетательного (ассоциативного) и переместительного (коммутативного) свойств умножения. Эти свойства позволяют произвольно переставлять и группировать сомножители.

Тождества, выражающие эти свойства:

• Переместительное свойство: $ab = ba$
• Сочетательное свойство: $(ab)c = a(bc)$

В данном примере: $y(5x) = y \cdot (5 \cdot x) = (y \cdot 5) \cdot x = (5 \cdot y) \cdot x = 5 \cdot (y \cdot x) = 5xy$.

Ответ: Сочетательное и переместительное свойства умножения, $(ab)c = a(bc)$ и $ab = ba$.

б) Преобразование (приведение подобных слагаемых) выполнено на основании распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения.

Тождество, выражающее это свойство: $ac + bc = (a + b)c$.

В данном примере: $2z + 3z = (2 + 3)z = 5z$.

Ответ: Распределительное свойство умножения, $ac + bc = (a + b)c$.

в) Преобразование выполнено на основании правила умножения двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

Тождество, выражающее это свойство: $(-a)(-b) = ab$.

В данном примере: $-2(-x) = (-2) \cdot (-1 \cdot x) = ((-2) \cdot (-1)) \cdot x = 2x$.

Ответ: Правило умножения двух отрицательных чисел, $(-a)(-b) = ab$.

г) Преобразование (сокращение дроби) выполнено на основании основного свойства дроби. Оно гласит, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на один и тот же ненулевой множитель.

Тождество, выражающее это свойство: $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ при $c \neq 0$.

В данном примере был сокращен общий множитель $x$: $\frac{xy}{xz} = \frac{y}{z}$ (при условии, что $x \neq 0$ и $z \neq 0$).

Ответ: Основное свойство дроби, $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ (при $c \neq 0$).

д) Преобразование выполнено на основании свойства, касающегося знака дроби. Если в дроби отрицательным является числитель, то знак "минус" можно вынести перед всей дробью.

Тождество, выражающее это свойство: $\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$.

В данном примере: $\frac{-x}{4} = -\frac{x}{4}$.

Ответ: Свойство знака в дроби, $\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$.

220 Восстановите пропущенные числители и знаменатели дробей так, чтобы получилось тождество:

а) $\frac{ }{y^2} + \frac{1}{ } = \frac{x^2 + y^2}{x^2y^2}$

б) $\frac{ }{c^2} + \frac{ }{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$

в) $\frac{2a^2}{ } + \frac{ }{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$

г) $\frac{ }{4y} + \frac{4y}{ } = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$

а) Исходное тождество: $\frac{...}{y^2} + \frac{1}{...} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$.

Правая часть имеет знаменатель $x^2y^2$. Это общий знаменатель для дробей в левой части. Знаменатели дробей слева должны быть множителями $x^2y^2$. Первый знаменатель — $y^2$. Чтобы получить общий знаменатель $x^2y^2$, пропущенный знаменатель второй дроби должен быть $x^2$.

Пусть пропущенный числитель первой дроби равен $A$. Тогда тождество принимает вид:

$\frac{A}{y^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{A \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{1 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{Ax^2 + y^2}{x^2y^2}$

Теперь сравним числитель полученной дроби с числителем дроби в правой части тождества:

$Ax^2 + y^2 = x^2 + y^2$

Из этого равенства следует, что $Ax^2 = x^2$, откуда $A=1$.

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{1}{y^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$.

б) Исходное тождество: $\frac{...}{c^2} + \frac{...}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$.

Общий знаменатель равен $3c^2$. Пусть пропущенные числители равны $A$ и $B$.

$\frac{A}{c^2} + \frac{B}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3c^2$:

$\frac{A \cdot 3}{c^2 \cdot 3} + \frac{B \cdot c^2}{3 \cdot c^2} = \frac{3A + Bc^2}{3c^2}$

Приравняем числители:

$3A + Bc^2 = 9 + c^2$

Чтобы равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях переменной и свободные члены должны быть равны. Отсюда получаем:

$3A = 9 \implies A=3$

$Bc^2 = c^2 \implies B=1$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{3}{c^2} + \frac{1}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$.

в) Исходное тождество: $\frac{2a^2}{...} + \frac{...}{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$.

Общий знаменатель равен $10b$. Это наименьшее общее кратное для знаменателей дробей в левой части. Пусть пропущенный знаменатель равен $B$, а числитель — $C$. Знаменатель $B$ и число 2 являются делителями $10b$. Поскольку $10b = 2 \cdot 5b$, можно предположить, что пропущенный знаменатель $B$ равен $5b$.

Подставим $B=5b$ в левую часть:

$\frac{2a^2}{5b} + \frac{C}{2}$

Приведем к общему знаменателю $10b$:

$\frac{2a^2 \cdot 2}{5b \cdot 2} + \frac{C \cdot 5b}{2 \cdot 5b} = \frac{4a^2 + 5bC}{10b}$

Сравним полученный числитель с числителем из условия:

$4a^2 + 5bC = 4a^2 + 25b^2$

$5bC = 25b^2 \implies C = \frac{25b^2}{5b} = 5b$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{2a^2}{5b} + \frac{5b}{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$.

г) Исходное тождество: $\frac{...}{4y} + \frac{4y}{...} = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$.

Общий знаменатель равен $28xy$. Пусть пропущенный числитель равен $A$, а знаменатель — $B$. Наименьшее общее кратное знаменателей $4y$ и $B$ равно $28xy$. Поскольку $28xy = 4y \cdot 7x$, можно предположить, что пропущенный знаменатель $B$ равен $7x$.

Подставим $B=7x$ в левую часть:

$\frac{A}{4y} + \frac{4y}{7x}$

Приведем к общему знаменателю $28xy$:

$\frac{A \cdot 7x}{4y \cdot 7x} + \frac{4y \cdot 4y}{7x \cdot 4y} = \frac{7Ax + 16y^2}{28xy}$

Сравним полученный числитель с числителем из условия:

$7Ax + 16y^2 = 49x^2 + 16y^2$

$7Ax = 49x^2 \implies A = \frac{49x^2}{7x} = 7x$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{7x}{4y} + \frac{4y}{7x} = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$.

221 1) Докажите, что каждое из выражений

$(x + 1)^2(x - 1)^2$, $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$, $(x^2 - 1)^2

тождественно равно многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

2) Какое из выражений

$(x - 3)^2(x + 3)^2$, $(x - 3)^2(x + 3)$, $(3 + x)(3 - x)^2$, $(x^2 - 9)(x - 3)

является «лишним»?

1) Докажем тождественное равенство каждого из выражений многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

Первое выражение: $(x + 1)^2(x - 1)^2$

Используем свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(x + 1)^2(x - 1)^2 = ((x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Второе выражение: $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что множители являются формулами квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Тогда выражение принимает вид:

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = (x+1)^2(x-1)^2$.

Это выражение совпадает с первым, и мы уже доказали, что оно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Альтернативный способ - использовать формулу разности квадратов, сгруппировав слагаемые:

$((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x) = (x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Третье выражение: $(x^2 - 1)^2$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Таким образом, доказано, что все три выражения тождественно равны многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы определить, какое из выражений является «лишним», упростим каждое из них.

Первое выражение: $(x - 3)^2(x + 3)^2$

$(x - 3)^2(x + 3)^2 = ((x - 3)(x + 3))^2 = (x^2 - 3^2)^2 = (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$.

Второе выражение: $(x - 3)^2(x + 3)$

$(x - 3)^2(x + 3) = (x^2 - 6x + 9)(x + 3) = x(x^2 - 6x + 9) + 3(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3x^2 - 18x + 27 = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Третье выражение: $(3 + x)(3 - x)^2$

Заметим, что $(3 - x)^2 = (-(x-3))^2 = (x-3)^2$ и $(3+x) = (x+3)$.

Таким образом, выражение $(3 + x)(3 - x)^2$ тождественно равно выражению $(x + 3)(x - 3)^2$, которое является вторым выражением. Значит, оно также равно $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Четвертое выражение: $(x^2 - 9)(x - 3)$

$(x^2 - 9)(x - 3) = x^2(x - 3) - 9(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Сравнив результаты, мы видим, что второе, третье и четвертое выражения равны многочлену $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$, в то время как первое выражение равно $x^4 - 18x^2 + 81$.

Следовательно, «лишним» является первое выражение.

Ответ: «Лишним» является выражение $(x - 3)^2(x + 3)^2$.

222 Тождество $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ называют формулой куба суммы.

Запишите новое тождество, которое получится при подстановке в эту формулу:

а) $a = x$, $b = -y$;

б) $a = -2x$, $b = 3y$.

Для решения задачи мы будем использовать данное тождество, известное как формула куба суммы:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Мы последовательно подставим в эту формулу заданные значения для $a$ и $b$ и упростим полученные выражения.

а) Подставим $a = x$ и $b = -y$ в формулу куба суммы.

Левая часть тождества примет вид:

$(a + b)^3 = (x + (-y))^3 = (x - y)^3$

Теперь подставим эти же значения в правую часть тождества и упростим каждый член:

$a^3 = (x)^3 = x^3$

$3a^2b = 3(x)^2(-y) = 3x^2(-y) = -3x^2y$

$3ab^2 = 3(x)(-y)^2 = 3x(y^2) = 3xy^2$

$b^3 = (-y)^3 = -y^3$

Собрав все упрощенные члены вместе, получаем правую часть нового тождества:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Таким образом, итоговое тождество выглядит так:

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Это известная формула куба разности.

Ответ: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

б) Подставим $a = -2x$ и $b = 3y$ в формулу куба суммы.

Левая часть тождества примет вид:

$(a + b)^3 = ((-2x) + 3y)^3 = (-2x + 3y)^3$

Теперь подставим эти же значения в правую часть тождества и упростим каждый член, выполняя возведение в степень и умножение:

$a^3 = (-2x)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 = -8x^3$

$3a^2b = 3(-2x)^2(3y) = 3(4x^2)(3y) = (3 \cdot 4 \cdot 3)x^2y = 36x^2y$

$3ab^2 = 3(-2x)(3y)^2 = 3(-2x)(9y^2) = (3 \cdot (-2) \cdot 9)xy^2 = -54xy^2$

$b^3 = (3y)^3 = 3^3 \cdot y^3 = 27y^3$

Собрав все упрощенные члены вместе, получаем правую часть нового тождества:

$-8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$

Таким образом, итоговое тождество выглядит так:

$(-2x + 3y)^3 = -8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$

Ответ: $(-2x + 3y)^3 = -8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$

Докажите тождество (№ 223–225):

223 a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2;$

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2.$

Для доказательства тождества $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2$ преобразуем его левую часть. Переставим слагаемые, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:

$(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

В нашем случае примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$. Применим формулу к левой части тождества:

$((x + y) - (x - y))^2$

Теперь раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x + y - x + y)^2 = (2y)^2$

Возводим в квадрат и получаем конечный результат:

$4y^2$

Таким образом, левая часть тождества равна $4y^2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2$ преобразуем его левую часть. Перегруппируем слагаемые для удобства:

$(x + y)^2 + 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$. Применим формулу к левой части тождества:

$((x + y) + (x - y))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x + y + x - y)^2 = (2x)^2$

Возводим в квадрат и получаем конечный результат:

$4x^2$

Таким образом, левая часть тождества равна $4x^2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажите тождество (№ 223–225):

224 а) $ (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2; $

б) $ (a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15). $

а)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части.

Левая часть: $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2$.

1. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для первых двух множителей:

$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.

2. Теперь произведение $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)$ превращается в $(m^2 - 1)(m^2 + 1)$. Снова применяем формулу разности квадратов:

$(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m^2)^2 - 1^2 = m^4 - 1$.

3. Раскроем скобки в выражении $(m^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(m^2 - 1)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 = m^4 - 2m^2 + 1$.

4. Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$(m^4 - 1) - (m^4 - 2m^2 + 1) - m^2$.

5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$m^4 - 1 - m^4 + 2m^2 - 1 - m^2 = (m^4 - m^4) + (2m^2 - m^2) + (-1 - 1) = m^2 - 2$.

Мы получили, что левая часть равна $m^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2$ доказано.

б)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую и правую части и сравним результаты.

Левая часть: $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$.

1. Раскроем $(a^2 + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + 3)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 + 6a^2 + 9$.

2. Упростим произведение $(a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$. Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ дважды:

$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.

3. Подставим упрощённые выражения в левую часть:

$(a^4 + 6a^2 + 9) - (a^4 - 81)$.

4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a^4 + 6a^2 + 9 - a^4 + 81 = (a^4 - a^4) + 6a^2 + (9 + 81) = 6a^2 + 90$.

Теперь преобразуем правую часть: $6(a^2 + 15)$.

1. Раскроем скобки:

$6(a^2 + 15) = 6 \cdot a^2 + 6 \cdot 15 = 6a^2 + 90$.

Поскольку левая и правая части равны ($6a^2 + 90 = 6a^2 + 90$), тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15)$ доказано.