Номер 220, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 220, страница 90.

220 Восстановите пропущенные числители и знаменатели дробей так, чтобы получилось тождество:

а) $\frac{ }{y^2} + \frac{1}{ } = \frac{x^2 + y^2}{x^2y^2}$

б) $\frac{ }{c^2} + \frac{ }{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$

в) $\frac{2a^2}{ } + \frac{ }{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$

г) $\frac{ }{4y} + \frac{4y}{ } = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$

а) Исходное тождество: $\frac{...}{y^2} + \frac{1}{...} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$.

Правая часть имеет знаменатель $x^2y^2$. Это общий знаменатель для дробей в левой части. Знаменатели дробей слева должны быть множителями $x^2y^2$. Первый знаменатель — $y^2$. Чтобы получить общий знаменатель $x^2y^2$, пропущенный знаменатель второй дроби должен быть $x^2$.

Пусть пропущенный числитель первой дроби равен $A$. Тогда тождество принимает вид:

$\frac{A}{y^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{A \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{1 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{Ax^2 + y^2}{x^2y^2}$

Теперь сравним числитель полученной дроби с числителем дроби в правой части тождества:

$Ax^2 + y^2 = x^2 + y^2$

Из этого равенства следует, что $Ax^2 = x^2$, откуда $A=1$.

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{1}{y^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$.

б) Исходное тождество: $\frac{...}{c^2} + \frac{...}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$.

Общий знаменатель равен $3c^2$. Пусть пропущенные числители равны $A$ и $B$.

$\frac{A}{c^2} + \frac{B}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3c^2$:

$\frac{A \cdot 3}{c^2 \cdot 3} + \frac{B \cdot c^2}{3 \cdot c^2} = \frac{3A + Bc^2}{3c^2}$

Приравняем числители:

$3A + Bc^2 = 9 + c^2$

Чтобы равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях переменной и свободные члены должны быть равны. Отсюда получаем:

$3A = 9 \implies A=3$

$Bc^2 = c^2 \implies B=1$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{3}{c^2} + \frac{1}{3} = \frac{9 + c^2}{3c^2}$.

в) Исходное тождество: $\frac{2a^2}{...} + \frac{...}{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$.

Общий знаменатель равен $10b$. Это наименьшее общее кратное для знаменателей дробей в левой части. Пусть пропущенный знаменатель равен $B$, а числитель — $C$. Знаменатель $B$ и число 2 являются делителями $10b$. Поскольку $10b = 2 \cdot 5b$, можно предположить, что пропущенный знаменатель $B$ равен $5b$.

Подставим $B=5b$ в левую часть:

$\frac{2a^2}{5b} + \frac{C}{2}$

Приведем к общему знаменателю $10b$:

$\frac{2a^2 \cdot 2}{5b \cdot 2} + \frac{C \cdot 5b}{2 \cdot 5b} = \frac{4a^2 + 5bC}{10b}$

Сравним полученный числитель с числителем из условия:

$4a^2 + 5bC = 4a^2 + 25b^2$

$5bC = 25b^2 \implies C = \frac{25b^2}{5b} = 5b$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{2a^2}{5b} + \frac{5b}{2} = \frac{4a^2 + 25b^2}{10b}$.

г) Исходное тождество: $\frac{...}{4y} + \frac{4y}{...} = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$.

Общий знаменатель равен $28xy$. Пусть пропущенный числитель равен $A$, а знаменатель — $B$. Наименьшее общее кратное знаменателей $4y$ и $B$ равно $28xy$. Поскольку $28xy = 4y \cdot 7x$, можно предположить, что пропущенный знаменатель $B$ равен $7x$.

Подставим $B=7x$ в левую часть:

$\frac{A}{4y} + \frac{4y}{7x}$

Приведем к общему знаменателю $28xy$:

$\frac{A \cdot 7x}{4y \cdot 7x} + \frac{4y \cdot 4y}{7x \cdot 4y} = \frac{7Ax + 16y^2}{28xy}$

Сравним полученный числитель с числителем из условия:

$7Ax + 16y^2 = 49x^2 + 16y^2$

$7Ax = 49x^2 \implies A = \frac{49x^2}{7x} = 7x$

Восстановленное тождество:

Ответ: $\frac{7x}{4y} + \frac{4y}{7x} = \frac{49x^2 + 16y^2}{28xy}$.