Номер 215, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.1 Рациональные выражения - номер 215, страница 87.

Условие.

215 Упростите выражение (№ 214, 215):

a) $\frac{6}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$

в) $\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{x^2 - x - 20}$

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{6}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2 + x - 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.
Используя теорему Виета, найдем два числа, сумма которых равна $-1$, а произведение равно $-2$. Эти числа — $1$ и $-2$.
Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{6}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{2}{x + 2}$

Общий знаменатель для этих дробей — $(x - 1)(x + 2)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на недостающий множитель $(x - 1)$:
$\frac{6}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{2(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{6 + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{6 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4}{(x - 1)(x + 2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$:
$\frac{2}{x - 1}$

Ответ: $\frac{2}{x - 1}$.

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $y^2 + 4y + 3$. Для этого решим уравнение $y^2 + 4y + 3 = 0$.
По теореме Виета, найдем два числа, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $3$. Эти числа — $-1$ и $-3$.
Следовательно, $y^2 + 4y + 3 = (y - (-1))(y - (-3)) = (y + 1)(y + 3)$.

Подставим разложение в исходное выражение:
$\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{(y + 1)(y + 3)}$

Общим знаменателем является выражение $(y + 1)(y + 3)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(y + 1)$:
$\frac{1(y + 1)}{(y + 3)(y + 1)} + \frac{2}{(y + 1)(y + 3)}$

Сложим числители, оставив знаменатель прежним:
$\frac{y + 1 + 2}{(y + 1)(y + 3)} = \frac{y + 3}{(y + 1)(y + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y + 3)$, при условии, что $y+3 \ne 0$, то есть $y \ne -3$:
$\frac{1}{y + 1}$

Ответ: $\frac{1}{y + 1}$.

в) $\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{x^2 - x - 20}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $x^2 - x - 20$. Решим уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.
По теореме Виета, найдем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение равно $-20$. Эти числа — $5$ и $-4$.
Значит, $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Перепишем выражение с разложенным знаменателем:
$\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Общий знаменатель — $(x - 5)(x + 4)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x + 4)$:
$\frac{1(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} - \frac{x + 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Выполним вычитание дробей. Важно учесть знак минуса перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю:
$\frac{(x + 4) - (x + 3)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{x + 4 - x - 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Упростим числитель:
$\frac{1}{(x - 5)(x + 4)}$

Выражение упрощено. Знаменатель можно оставить в виде произведения множителей.

Ответ: $\frac{1}{(x - 5)(x + 4)}$.