Номер 212, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 212, страница 87.

212 Вычислите значение выражения при тех значениях переменных из приведённого перечня, которые являются допустимыми:

а) $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5}$; $c = -37; -5; 0; 2; 5;$

б) $ \frac{a}{a - c} \cdot \left(\frac{a - c}{a} - 1\right)$; $a = -15$ и $c = -18$; $a = 0$ и $c = 10$; $a = 10$ и $c = 0;$

В) $ \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x - y}$; $x = \frac{1}{6}$ и $y = -\frac{2}{3}$; $x = 0$ и $y = 22$; $x = 5$ и $y = 5;$

Г) $ \frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} - \frac{a}{a + 2}$; $a = -4; -2; 2; \frac{2}{3}.$

а) Исходное выражение: $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $ 10c \neq 0 \implies c \neq 0 $ и $ c - 5 \neq 0 \implies c \neq 5 $.
Из предложенного перечня $ c = -37; -5; 0; 2,5 $ недопустимым является значение $ c = 0 $, так как оно приводит к делению на ноль. Остальные значения являются допустимыми.
Для упрощения вычислений сначала преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов $ c^2 - 25 = (c-5)(c+5) $ и сокращая дроби: $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5} = \frac{(c-5)(c+5)}{10c} \cdot \frac{c}{c-5} $.
Сократим на $ c $ и $ (c-5) $, что возможно при наших допустимых значениях: $ \frac{c+5}{10} $.
Теперь вычислим значение выражения для каждого допустимого значения $ c $:
1. При $ c = -37 $: $ \frac{-37+5}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2 $.
2. При $ c = -5 $: $ \frac{-5+5}{10} = \frac{0}{10} = 0 $.
3. При $ c = 2,5 $: $ \frac{2,5+5}{10} = \frac{7,5}{10} = 0,75 $.
Ответ: при $c=-37$ значение равно $-3,2$; при $c=-5$ значение равно $0$; при $c=2,5$ значение равно $0,75$.

б) Исходное выражение: $ \frac{a}{a - c} \cdot (\frac{a - c}{a} - 1) $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ a - c \neq 0 \implies a \neq c $ и $ a \neq 0 $.
Проверим предложенные пары значений:
1. $ a = -15, c = -18 $: допустимо, так как $ -15 \neq -18 $ и $ -15 \neq 0 $.
2. $ a = 0, c = 10 $: недопустимо, так как $ a = 0 $.
3. $ a = 10, c = 0 $: допустимо, так как $ 10 \neq 0 $ и $ 10 \neq 0 $.
Упростим выражение. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю: $ \frac{a - c}{a} - 1 = \frac{a - c}{a} - \frac{a}{a} = \frac{a - c - a}{a} = \frac{-c}{a} $.
Теперь умножим: $ \frac{a}{a - c} \cdot (\frac{-c}{a}) = \frac{a \cdot (-c)}{(a - c) \cdot a} = \frac{-c}{a - c} $.
Вычислим для допустимых пар:
1. При $ a = -15, c = -18 $: $ \frac{-(-18)}{-15 - (-18)} = \frac{18}{-15 + 18} = \frac{18}{3} = 6 $.
2. При $ a = 10, c = 0 $: $ \frac{-0}{10 - 0} = \frac{0}{10} = 0 $.
Ответ: при $a=-15, c=-18$ значение равно $6$; при $a=10, c=0$ значение равно $0$.

в) Исходное выражение: $ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{xy}{x - y} $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ y \neq 0 $, $ x \neq 0 $ и $ x - y \neq 0 \implies x \neq y $.
Проверим предложенные пары значений:
1. $ x = \frac{1}{6}, y = -\frac{2}{3} $: допустимо, так как $ x \neq 0, y \neq 0 $ и $ x \neq y $.
2. $ x = 0, y = 22 $: недопустимо, так как $ x = 0 $.
3. $ x = 5, y = 5 $: недопустимо, так как $ x = y $.
Упростим выражение. Сначала выполним действие в скобках: $ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} $.
Теперь умножим: $ \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x - y} $.
Сократим на $ xy $ и $ (x-y) $: $ x+y $.
Вычислим для единственной допустимой пары:
При $ x = \frac{1}{6}, y = -\frac{2}{3} $: $ x + y = \frac{1}{6} + (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: при $x=\frac{1}{6}, y=-\frac{2}{3}$ значение равно $-\frac{1}{2}$.

г) Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} - \frac{a}{a + 2} $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.
Из списка значений $ a = -4; -2; 2; \frac{2}{3} $ недопустимыми являются $ a = -2 $ и $ a = 2 $.
Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $: $ \frac{a^2 + 4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a^2 + 4) - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4 - a^2 + 2a}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a + 4}{(a-2)(a+2)} $.
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a + 2)}{(a-2)(a+2)} $.
Сократим на $ (a+2) $: $ \frac{2}{a - 2} $.
Вычислим для допустимых значений:
1. При $ a = -4 $: $ \frac{2}{-4 - 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $.
2. При $ a = \frac{2}{3} $: $ \frac{2}{\frac{2}{3} - 2} = \frac{2}{\frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: при $a=-4$ значение равно $-\frac{1}{3}$; при $a=\frac{2}{3}$ значение равно $-\frac{3}{2}$.