Номер 216, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 216, страница 87.

216 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Известно, что в выражении $x^2 - 2xy - y^2$ переменные $x$ и $y$ связаны соотношением $x + y = 1$. Выясним, каково наименьшее значение этого выражения и при каких значениях $x$ и $y$ оно достигается.

Решение.

Из условия $x + y = 1$ следует, что $y = 1 - x$. Подставив в выражение $x^2 - 2xy - y^2$ вместо $y$ двучлен $1 - x$, получим

$x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2 = 2x^2 - 1$.

Наименьшее значение выражения $2x^2 - 1$ равно $-1$, оно достигается при $x = 0$. Значит, и наименьшее значение многочлена $x^2 - 2xy - y^2$, где $x + y = 1$, тоже равно $-1$; оно достигается при $x = 0$ и $y = 1$.

2) Найдите наибольшее значение выражения $y^2 - 2xy - x^2$, если известно, что $x - y = 2$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?

1) Для нахождения наименьшего значения выражения $x^2 - 2xy - y^2$ при условии $x + y = 1$, выразим одну переменную через другую. Из условия $x + y = 1$ следует, что $y = 1 - x$.

Подставим это в исходное выражение:

$E(x) = x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$E(x) = x^2 - (2x - 2x^2) - (1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2 = 2x^2 - 1$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $f(x) = 2x^2 - 1$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$), поэтому она имеет точку минимума.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_0$ для функции $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a = 2$, $b = 0$.

$x_0 = -0 / (2 \cdot 2) = 0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение:

$E_{min} = 2(0)^2 - 1 = -1$.

Найдем соответствующее значение $y$ из условия $x + y = 1$:

$y = 1 - x = 1 - 0 = 1$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $-1$ и достигается при $x = 0$, $y = 1$.

2) Необходимо найти наибольшее значение выражения $y^2 - 2xy - x^2$ при условии $x - y = 2$.

Из условия $x - y = 2$ выразим переменную $y$ через $x$: $y = x - 2$.

Подставим полученное выражение для $y$ в исходный многочлен:

$E(x) = (x - 2)^2 - 2x(x - 2) - x^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E(x) = (x^2 - 4x + 4) - (2x^2 - 4x) - x^2$

$E(x) = x^2 - 4x + 4 - 2x^2 + 4x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(x) = (1 - 2 - 1)x^2 + (-4 + 4)x + 4 = -2x^2 + 4$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения квадратичной функции $f(x) = -2x^2 + 4$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$), поэтому она имеет точку максимума.

Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_0$ находится по той же формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для $f(x) = -2x^2 + 4$, имеем $a = -2$ и $b = 0$.

$x_0 = -0 / (2 \cdot (-2)) = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение:

$E_{max} = -2(0)^2 + 4 = 4$.

Найдем соответствующее значение $y$ из условия $x - y = 2$:

$0 - y = 2 \implies y = -2$.

Ответ: наибольшее значение выражения равно $4$ при $x = 0$ и $y = -2$.