Номер 222, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 222, страница 90.

222 Тождество $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ называют формулой куба суммы.

Запишите новое тождество, которое получится при подстановке в эту формулу:

а) $a = x$, $b = -y$;

б) $a = -2x$, $b = 3y$.

Для решения задачи мы будем использовать данное тождество, известное как формула куба суммы:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Мы последовательно подставим в эту формулу заданные значения для $a$ и $b$ и упростим полученные выражения.

а) Подставим $a = x$ и $b = -y$ в формулу куба суммы.

Левая часть тождества примет вид:

$(a + b)^3 = (x + (-y))^3 = (x - y)^3$

Теперь подставим эти же значения в правую часть тождества и упростим каждый член:

$a^3 = (x)^3 = x^3$

$3a^2b = 3(x)^2(-y) = 3x^2(-y) = -3x^2y$

$3ab^2 = 3(x)(-y)^2 = 3x(y^2) = 3xy^2$

$b^3 = (-y)^3 = -y^3$

Собрав все упрощенные члены вместе, получаем правую часть нового тождества:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Таким образом, итоговое тождество выглядит так:

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Это известная формула куба разности.

Ответ: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

б) Подставим $a = -2x$ и $b = 3y$ в формулу куба суммы.

Левая часть тождества примет вид:

$(a + b)^3 = ((-2x) + 3y)^3 = (-2x + 3y)^3$

Теперь подставим эти же значения в правую часть тождества и упростим каждый член, выполняя возведение в степень и умножение:

$a^3 = (-2x)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 = -8x^3$

$3a^2b = 3(-2x)^2(3y) = 3(4x^2)(3y) = (3 \cdot 4 \cdot 3)x^2y = 36x^2y$

$3ab^2 = 3(-2x)(3y)^2 = 3(-2x)(9y^2) = (3 \cdot (-2) \cdot 9)xy^2 = -54xy^2$

$b^3 = (3y)^3 = 3^3 \cdot y^3 = 27y^3$

Собрав все упрощенные члены вместе, получаем правую часть нового тождества:

$-8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$

Таким образом, итоговое тождество выглядит так:

$(-2x + 3y)^3 = -8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$

Ответ: $(-2x + 3y)^3 = -8x^3 + 36x^2y - 54xy^2 + 27y^3$