Номер 221, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 221, страница 90.

221 1) Докажите, что каждое из выражений

$(x + 1)^2(x - 1)^2$, $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$, $(x^2 - 1)^2

тождественно равно многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

2) Какое из выражений

$(x - 3)^2(x + 3)^2$, $(x - 3)^2(x + 3)$, $(3 + x)(3 - x)^2$, $(x^2 - 9)(x - 3)

является «лишним»?

1) Докажем тождественное равенство каждого из выражений многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

Первое выражение: $(x + 1)^2(x - 1)^2$

Используем свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(x + 1)^2(x - 1)^2 = ((x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Второе выражение: $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что множители являются формулами квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Тогда выражение принимает вид:

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = (x+1)^2(x-1)^2$.

Это выражение совпадает с первым, и мы уже доказали, что оно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Альтернативный способ - использовать формулу разности квадратов, сгруппировав слагаемые:

$((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x) = (x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Третье выражение: $(x^2 - 1)^2$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Выражение тождественно равно $x^4 - 2x^2 + 1$.

Таким образом, доказано, что все три выражения тождественно равны многочлену $x^4 - 2x^2 + 1$.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы определить, какое из выражений является «лишним», упростим каждое из них.

Первое выражение: $(x - 3)^2(x + 3)^2$

$(x - 3)^2(x + 3)^2 = ((x - 3)(x + 3))^2 = (x^2 - 3^2)^2 = (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$.

Второе выражение: $(x - 3)^2(x + 3)$

$(x - 3)^2(x + 3) = (x^2 - 6x + 9)(x + 3) = x(x^2 - 6x + 9) + 3(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3x^2 - 18x + 27 = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Третье выражение: $(3 + x)(3 - x)^2$

Заметим, что $(3 - x)^2 = (-(x-3))^2 = (x-3)^2$ и $(3+x) = (x+3)$.

Таким образом, выражение $(3 + x)(3 - x)^2$ тождественно равно выражению $(x + 3)(x - 3)^2$, которое является вторым выражением. Значит, оно также равно $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Четвертое выражение: $(x^2 - 9)(x - 3)$

$(x^2 - 9)(x - 3) = x^2(x - 3) - 9(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Сравнив результаты, мы видим, что второе, третье и четвертое выражения равны многочлену $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$, в то время как первое выражение равно $x^4 - 18x^2 + 81$.

Следовательно, «лишним» является первое выражение.

Ответ: «Лишним» является выражение $(x - 3)^2(x + 3)^2$.