Номер 224, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 224, страница 90.

Докажите тождество (№ 223–225):

224 а) $ (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2; $

б) $ (a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15). $

а)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части.

Левая часть: $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2$.

1. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для первых двух множителей:

$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.

2. Теперь произведение $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)$ превращается в $(m^2 - 1)(m^2 + 1)$. Снова применяем формулу разности квадратов:

$(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m^2)^2 - 1^2 = m^4 - 1$.

3. Раскроем скобки в выражении $(m^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(m^2 - 1)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 = m^4 - 2m^2 + 1$.

4. Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$(m^4 - 1) - (m^4 - 2m^2 + 1) - m^2$.

5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$m^4 - 1 - m^4 + 2m^2 - 1 - m^2 = (m^4 - m^4) + (2m^2 - m^2) + (-1 - 1) = m^2 - 2$.

Мы получили, что левая часть равна $m^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2$ доказано.

б)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую и правую части и сравним результаты.

Левая часть: $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$.

1. Раскроем $(a^2 + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + 3)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 + 6a^2 + 9$.

2. Упростим произведение $(a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$. Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ дважды:

$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.

3. Подставим упрощённые выражения в левую часть:

$(a^4 + 6a^2 + 9) - (a^4 - 81)$.

4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a^4 + 6a^2 + 9 - a^4 + 81 = (a^4 - a^4) + 6a^2 + (9 + 81) = 6a^2 + 90$.

Теперь преобразуем правую часть: $6(a^2 + 15)$.

1. Раскроем скобки:

$6(a^2 + 15) = 6 \cdot a^2 + 6 \cdot 15 = 6a^2 + 90$.

Поскольку левая и правая части равны ($6a^2 + 90 = 6a^2 + 90$), тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15)$ доказано.