Номер 231, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 231, страница 91.

231 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$;

в) $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$;

г) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Далее упростим выражение функции. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$

При условии, что $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 2)$. В результате получаем линейную функцию:

$y = x - 2$

Графиком данной функции является прямая $y = x - 2$, но с одной особенностью. Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике прямой будет "выколотая" точка. Чтобы найти ее координаты, подставим $x = -2$ в уравнение упрощенной функции:

$y = -2 - 2 = -4$

Таким образом, график представляет собой прямую, проходящую, например, через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$, с выколотой точкой в $(-2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Упростим функцию. Для этого разложим на множители квадратный трехчлен в числителе $x^2 - 4x - 5$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x - (-1)) = (x - 5)(x + 1)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 5)(x + 1)}{x + 1}$

При $x \neq -1$ сокращаем дробь на $(x + 1)$ и получаем линейную функцию:

$y = x - 5$

Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки:

$y = -1 - 5 = -6$

Следовательно, из графика прямой $y = x - 5$ нужно исключить точку с координатами $(-1, -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(-1, -6)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$.

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Упростим функцию, разложив знаменатель на множители:

$y = \frac{x - 1}{x(x - 1)}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$. Получаем функцию:

$y = \frac{1}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Исходная функция не определена в точках $x = 0$ и $x = 1$.

Ограничение $x \neq 0$ соответствует вертикальной асимптоте $x = 0$ для гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Ограничение $x \neq 1$ означает, что на графике гиперболы будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = 1$ в упрощенное уравнение:

$y = \frac{1}{1} = 1$

Координаты выколотой точки: $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, или $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение. Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}$

При $x \neq 1$ и $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x^2 - 1)$. Получаем квадратичную функцию:

$y = x^2 + 1$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат, с вершиной в точке $(0, 1)$.

На графике этой параболы должны быть две выколотые точки, соответствующие ограничениям $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Найдем их координаты:

При $x = 1$: $y = 1^2 + 1 = 2$. Координаты первой выколотой точки $(1, 2)$.

При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Координаты второй выколотой точки $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.