Номер 236, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 236, страница 94.

236 Какое из уравнений имеет три корня, равные 1, -1 и 2?

1) $ (x^2 - 1)(x + 2) = 0; $

2) $ (x - 2)(x^2 - 1) = 0; $

3) $ (x + 1)^2(x - 2) = 0. $

Для того чтобы определить, какое из уравнений имеет корни, равные $1, -1$ и $2$, необходимо найти корни каждого из предложенных уравнений. Уравнение, представленное в виде произведения нескольких множителей, равного нулю, решается путем приравнивания каждого из множителей к нулю.

1) $(x^2 - 1)(x + 2) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x^2 - 1 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Решаем первое уравнение: $x^2 = 1$. Оно имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Решаем второе уравнение: $x + 2 = 0$. Оно имеет один корень: $x_3 = -2$.

Таким образом, уравнение $(x^2 - 1)(x + 2) = 0$ имеет три корня: $1, -1, -2$. Этот набор не соответствует условию задачи.

Ответ: Корни уравнения: $1, -1, -2$.

2) $(x - 2)(x^2 - 1) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $x^2 - 1 = 0$.

Решаем первое уравнение: $x - 2 = 0$. Оно имеет один корень: $x_1 = 2$.

Решаем второе уравнение: $x^2 = 1$. Оно имеет два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, уравнение $(x - 2)(x^2 - 1) = 0$ имеет три корня: $2, 1, -1$. Этот набор корней в точности совпадает с требуемым в условии.

Ответ: Корни уравнения: $1, -1, 2$.

3) $(x + 1)^2(x - 2) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$(x + 1)^2 = 0$ или $x - 2 = 0$.

Решаем первое уравнение: $(x + 1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x + 1 = 0$, и корень $x_1 = -1$. Стоит отметить, что это корень кратности 2.

Решаем второе уравнение: $x - 2 = 0$. Оно имеет один корень: $x_2 = 2$.

Таким образом, уравнение $(x + 1)^2(x - 2) = 0$ имеет только два различных корня: $-1$ и $2$. Это не соответствует условию задачи, в котором указаны три различных корня.

Ответ: Корни уравнения: $-1$ (кратность 2) и $2$.

Проанализировав все три варианта, можно сделать вывод, что только уравнение под номером 2, $(x - 2)(x^2 - 1) = 0$, имеет три корня, равные $1, -1$ и $2$.