Номер 238, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 238, страница 94.

238 Решите уравнение (№ 238–239):

а) $x^3 - 4x = 0;$

б) $5x + 5x^3 = 0;$

в) $x^3 - 2x^2 + x = 0;$

г) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0;$

д) $81x^2 - x^4 = 0;$

е) $9x^2 = x^4.$

а) Исходное уравнение: $x^3 - 4x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два уравнения:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 4 = 0$
Второе уравнение является разностью квадратов. Разложим его на множители: $(x - 2)(x + 2) = 0$.
Отсюда получаем еще два корня: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Таким образом, уравнение имеет три корня: -2, 0 и 2.
Ответ: $-2; 0; 2$.

б) Исходное уравнение: $5x + 5x^3 = 0$.
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки: $5x(1 + x^2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $5x = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $1 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$
Второе уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у уравнения есть только один действительный корень.
Ответ: $0$.

в) Исходное уравнение: $x^3 - 2x^2 + x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 2x + 1) = 0$.
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Уравнение принимает вид: $x(x - 1)^2 = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$
2) $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Уравнение имеет два корня: 0 и 1.
Ответ: $0; 1$.

г) Исходное уравнение: $x^3 - 4x^2 + 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Корни легко подбираются: $x = 1$ и $x = 3$.
Либо решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$
$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; 1; 3$.

д) Исходное уравнение: $81x^2 - x^4 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(81 - x^2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $81 - x^2 = 0$
Второе уравнение является разностью квадратов: $(9 - x)(9 + x) = 0$.
Отсюда: $9 - x = 0 \Rightarrow x = 9$
$9 + x = 0 \Rightarrow x = -9$
Уравнение имеет три корня: -9, 0 и 9.
Ответ: $-9; 0; 9$.

е) Исходное уравнение: $9x^2 = x^4$.
Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: $x^4 - 9x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 - 9) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $x^2 - 9 = 0$
Второе уравнение является разностью квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Отсюда: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Уравнение имеет три корня: -3, 0 и 3.
Ответ: $-3; 0; 3$.