Номер 245, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 245, страница 95.

245 Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245–247):

a) $(2x - 5)^2 + (2x - 5) - 6 = 0;$

б) $(2x + 3)^2 + 4x + 7 = 0.$

Совет. Введите замену: a) $2x - 5 = y;$ б) $2x + 3 = y.$

а) $(2x - 5)^2 + (2x - 5) - 6 = 0$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = 2x - 5$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения для $y$ равны:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Подставим $y_1 = -3$:

$2x - 5 = -3$

$2x = -3 + 5$

$2x = 2$

$x_1 = 1$

2. Подставим $y_2 = 2$:

$2x - 5 = 2$

$2x = 2 + 5$

$2x = 7$

$x_2 = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: 1; 3,5.

б) $(2x + 3)^2 + 4x + 7 = 0$

Введем замену, как предложено в совете к задаче: $y = 2x + 3$.

Первый член уравнения $(2x + 3)^2$ становится равен $y^2$.

Теперь необходимо выразить оставшуюся часть уравнения, $4x + 7$, через новую переменную $y$.

Из выражения для замены $y = 2x + 3$ выразим $2x$: $2x = y - 3$.

Тогда $4x$ можно представить как $4x = 2 \cdot (2x) = 2(y - 3) = 2y - 6$.

Подставим это в выражение $4x + 7$:

$4x + 7 = (2y - 6) + 7 = 2y + 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$y^2 + (2y + 1) = 0$

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является формулой квадрата суммы:

$(y + 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень:

$y + 1 = 0$

$y = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$2x + 3 = -1$

$2x = -1 - 3$

$2x = -4$

$x = -2$

Ответ: -2.