Номер 252, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 252, страница 98.

Решите уравнение (№ 250–253):

252 a) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$;

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$;

г) $\frac{5}{x} + x = 6$;

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$;

е) $6 = \frac{5}{z} - z$.

а) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$
Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $z$ определяется условием $z \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $15z$:
$15z \cdot z - 15z \cdot \frac{1}{z} = 15z \cdot \frac{16}{15}$
$15z^2 - 15 = 16z$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$:
$15z^2 - 16z - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$z_1 = \frac{-(-16) + 34}{2 \cdot 15} = \frac{16 + 34}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$
$z_2 = \frac{-(-16) - 34}{2 \cdot 15} = \frac{16 - 34}{30} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$
Оба найденных корня не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $z_1 = \frac{5}{3}; z_2 = -\frac{3}{5}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x$:
$2x \cdot x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot (-\frac{5}{2})$
$2x^2 + 2 = -5x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 + 5x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = -2; x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$2y \cdot y = 5 \cdot y - \frac{3}{y} \cdot y$
$2y^2 = 5y - 3$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2y^2 - 5y + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 1$.
$y_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $y_1 = 1; y_2 = \frac{3}{2}$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$\frac{5}{x} \cdot x + x \cdot x = 6 \cdot x$
$5 + x^2 = 6x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 4$.
$x_1 = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 1; x_2 = 5$.

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$8 \cdot y - \frac{1}{y} \cdot y = 7y \cdot y$
$8y - 1 = 7y^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$7y^2 - 8y + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 6$.
$y_1 = \frac{-(-8) + 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$y_2 = \frac{-(-8) - 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $y_1 = \frac{1}{7}; y_2 = 1$.

е) $6 = \frac{5}{z} - z$
ОДЗ: $z \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $z$:
$6 \cdot z = \frac{5}{z} \cdot z - z \cdot z$
$6z = 5 - z^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$z^2 + 6z - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.
$z_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{14})}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$
$z_1 = -3 + \sqrt{14}$
$z_2 = -3 - \sqrt{14}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $z_1 = -3 + \sqrt{14}; z_2 = -3 - \sqrt{14}$.