Номер 256, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 256, страница 98.

256 Найдите корни уравнения:

а) $\frac{x+9}{x+3} = x - 1$;

б) $x = \frac{2x}{3x - 1}$;

в) $\frac{2}{2x+5} = x + 1$;

г) $\frac{5x - 2}{x} = 3x$.

а) $\frac{x + 9}{x + 3} = x - 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на $(x+3)$, чтобы избавиться от дроби:

$x + 9 = (x - 1)(x + 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 9 = x^2 + 3x - x - 3$

$x + 9 = x^2 + 2x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x - 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$.

Или можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Оба корня ($3$ и $-4$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$), поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -4$.

---

б) $x = \frac{2x}{3x - 1}$

ОДЗ: $3x - 1 \neq 0$, следовательно, $3x \neq 1$, $x \neq \frac{1}{3}$.

Умножим обе части уравнения на $(3x - 1)$:

$x(3x - 1) = 2x$

$3x^2 - x = 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - x - 2x = 0$

$3x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 1 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Оба корня ($0$ и $1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{1}{3}$).

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

---

в) $\frac{2}{2x + 5} = x + 1$

ОДЗ: $2x + 5 \neq 0$, следовательно, $2x \neq -5$, $x \neq -\frac{5}{2}$ (или $-2.5$).

Умножим обе части уравнения на $(2x + 5)$:

$2 = (x + 1)(2x + 5)$

Раскроем скобки:

$2 = 2x^2 + 5x + 2x + 5$

$2 = 2x^2 + 7x + 5$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2x^2 + 7x + 5 - 2 = 0$

$2x^2 + 7x + 3 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Оба корня ($-0.5$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2.5$).

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = -3$.

---

г) $\frac{5x - 2}{x} = 3x$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$5x - 2 = 3x \cdot x$

$5x - 2 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 = 1^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$

$x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}$.