Номер 262, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 262, страница 99.

262 а) Является ли какое-нибудь из чисел 1 и 2 корнем уравнения $\frac{(x-1)(x-2)}{3x^2 - 9x + 6} = 0?$

б) Есть ли среди чисел -1, 1, -2 и 2 хотя бы один корень уравнения $\frac{(x+1)(x-1)(x+2)}{x^4 - 13x^2 + 36} = 0?$

а) Чтобы проверить, является ли какое-нибудь из чисел 1 и 2 корнем уравнения $\frac{(x-1)(x-2)}{3x^2 - 9x + 6} = 0$, необходимо подставить эти значения в уравнение и проверить выполнение условия для корня рационального уравнения: числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Найдем значения $x$, при которых числитель $(x-1)(x-2)$ обращается в ноль.
$(x-1)(x-2) = 0$
Решениями этого уравнения являются $x=1$ и $x=2$. Это потенциальные корни.

2. Теперь проверим, не обращается ли знаменатель $3x^2 - 9x + 6$ в ноль при этих значениях. Это является проверкой на принадлежность к Области Допустимых Значений (ОДЗ).

Проверка для $x=1$:
Подставляем в знаменатель: $3(1)^2 - 9(1) + 6 = 3 - 9 + 6 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, деление на ноль невозможно. Следовательно, $x=1$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x=2$:
Подставляем в знаменатель: $3(2)^2 - 9(2) + 6 = 3 \cdot 4 - 18 + 6 = 12 - 18 + 6 = 0$.
Поскольку знаменатель также равен нулю, $x=2$ не является корнем уравнения.

Ответ: Нет, ни число 1, ни число 2 не являются корнями уравнения, так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль.

б) Чтобы выяснить, есть ли среди чисел -1, 1, -2 и 2 хотя бы один корень уравнения $\frac{(x+1)(x-1)(x+2)}{x^4 - 13x^2 + 36} = 0$, подставим каждое из этих чисел в уравнение и проверим, выполняется ли для них условие корня (числитель равен 0, знаменатель не равен 0).

Проверка числа $x = -1$:
Числитель: $(-1+1)(-1-1)(-1+2) = 0 \cdot (-2) \cdot 1 = 0$.
Знаменатель: $(-1)^4 - 13(-1)^2 + 36 = 1 - 13(1) + 36 = 1 - 13 + 36 = 24$.
Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0 ($24 \neq 0$), число $x=-1$ является корнем уравнения.

Проверка числа $x = 1$:
Числитель: $(1+1)(1-1)(1+2) = 2 \cdot 0 \cdot 3 = 0$.
Знаменатель: $(1)^4 - 13(1)^2 + 36 = 1 - 13 + 36 = 24$.
Поскольку числитель равен 0, а знаменатель не равен 0 ($24 \neq 0$), число $x=1$ является корнем уравнения.

Проверка числа $x = -2$:
Числитель: $(-2+1)(-2-1)(-2+2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 0 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^4 - 13(-2)^2 + 36 = 16 - 13(4) + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, число $x=-2$ не является корнем уравнения.

Проверка числа $x = 2$:
Числитель: $(2+1)(2-1)(2+2) = 3 \cdot 1 \cdot 4 = 12$.
Знаменатель: $(2)^4 - 13(2)^2 + 36 = 16 - 13(4) + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, число $x=2$ не является корнем уравнения.

Среди предложенных чисел корнями являются -1 и 1. Так как мы нашли хотя бы один корень, ответ на вопрос задачи утвердительный.

Ответ: Да, есть. Корнями из данного набора чисел являются -1 и 1.