Номер 261, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 261, страница 98.

Решите уравнение (№ 258–261):

а) $ \frac{x}{x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4}{(x - 4)(x - 2)} $

б) $ \frac{x + 2}{x - 5} - \frac{3x}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{2}{x - 2} $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x - 2} $

г) $ \frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 1}{x - 4} $

а) $\frac{x}{x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4}{(x - 4)(x - 2)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x - 4)(x - 2)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$x(x - 2) - x(x - 4) = 4$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x - (x^2 - 4x) = 4$

$x^2 - 2x - x^2 + 4x = 4$

$2x = 4$

$x = 2$

4. Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Корень $x = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, он является посторонним корнем.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{x + 2}{x - 5} - \frac{3x}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{2}{x - 2}$

1. Найдем ОДЗ:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Общий знаменатель дробей равен $(x - 2)(x - 5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x + 2)(x - 2) - 3x = 2(x - 5)$

3. Решим полученное уравнение:

$x^2 - 4 - 3x = 2x - 10$

$x^2 - 3x - 2x - 4 + 10 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ входит в ОДЗ.

Ответ: 3.

в) $\frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x - 2}$

1. Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{(x + 2)(x - 1)}$

2. Найдем ОДЗ:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x + 2)$:

$2(x + 2) + 5(x - 1) = 13$

4. Решим полученное линейное уравнение:

$2x + 4 + 5x - 5 = 13$

$7x - 1 = 13$

$7x = 14$

$x = 2$

5. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 2$ входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

г) $\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 1}{x - 4}$

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x - 4}$

2. Найдем ОДЗ:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 4) \cup (4, +\infty)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 4)(x + 1)$:

$2x(x - 4) + 6 = (x - 1)(x + 1)$

4. Решим полученное уравнение:

$2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 1$

$2x^2 - x^2 - 8x + 6 + 1 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

5. Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$, входят в ОДЗ.

Ответ: 1; 7.