Номер 268, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 268, страница 101.

268 Андрей проехал на велосипеде 24 км. На автомобиле за это же время при скорости, на 30 км/ч большей, он проехал бы 84 км. С какой скоростью ехал Андрей на велосипеде? За какое время он проехал это расстояние?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v$ — это скорость Андрея на велосипеде в км/ч, а $t$ — время в пути в часах.

Расстояние, которое Андрей проехал на велосипеде, равно произведению его скорости на время:
$S_{вело} = v \cdot t = 24$ км.

По условию, скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости велосипеда, значит, она равна $v + 30$ км/ч. Время в пути для автомобиля такое же, то есть $t$ часов. За это время автомобиль проехал 84 км:
$S_{авто} = (v + 30) \cdot t = 84$ км.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $v \cdot t = 24$
2) $(v + 30) \cdot t = 84$

Из первого уравнения выразим время $t$ через скорость $v$:
$t = \frac{24}{v}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$(v + 30) \cdot \frac{24}{v} = 84$

Решив это уравнение, мы найдем искомую скорость велосипеда.

С какой скоростью ехал Андрей на велосипеде?

Решим полученное уравнение относительно $v$:
$(v + 30) \cdot \frac{24}{v} = 84$
Разделим обе части уравнения на 24 для упрощения:
$\frac{v + 30}{v} = \frac{84}{24}$
Сократим дробь в правой части: $\frac{84}{24} = \frac{7 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Получаем: $\frac{v + 30}{v} = 3.5$
Умножим обе части уравнения на $v$ (поскольку скорость не может быть равна нулю):
$v + 30 = 3.5v$
Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону:
$30 = 3.5v - v$
$30 = 2.5v$
Теперь найдем $v$:
$v = \frac{30}{2.5} = \frac{300}{25} = 12$
Таким образом, скорость Андрея на велосипеде составляла 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.

За какое время он проехал это расстояние?

Теперь, когда мы знаем скорость велосипеда ($v = 12$ км/ч), мы можем найти время в пути, используя формулу, выведенную из первого уравнения: $t = \frac{24}{v}$.
Подставляем значение скорости:
$t = \frac{24}{12} = 2$
Значит, Андрей проехал это расстояние за 2 часа.
Для проверки можно вычислить время для поездки на автомобиле:
Скорость автомобиля: $12 + 30 = 42$ км/ч.
Время: $t = \frac{84}{42} = 2$ часа.
Время совпадает, значит, задача решена верно.
Ответ: 2 часа.