Номер 271, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 271, страница 101.

271 Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало? Сколько денег пришлось уплатить каждому?

Пусть $x$ — первоначальное количество человек, обедавших вместе. Тогда доля каждого, если бы платили все, составила бы $\frac{175}{x}$ шиллингов.

По условию, у двоих человек не было при себе денег, поэтому счёт оплачивали $x-2$ человека. Каждый из них заплатил на 10 шиллингов больше, чем должен был изначально. Таким образом, фактическая сумма, уплаченная каждым, составила $\frac{175}{x-2}$ шиллингов.

Составим уравнение, связывающее первоначальную и фактическую доли:

$\frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10$

$\frac{350}{x^2 - 2x} = 10$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$, что соответствует смыслу задачи):

$350 = 10(x^2 - 2x)$

Разделим обе части на 10:

$35 = x^2 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -35, а их сумма равна 2. Подбором находим корни: 7 и -5.

Либо решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

Так как количество людей ($x$) не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -5$ не имеет смысла в контексте задачи. Следовательно, верным решением является $x=7$.

Сколько человек обедало?

Первоначальное количество обедавших людей было 7.

Ответ: 7 человек.

Сколько денег пришлось уплатить каждому?

Этот вопрос относится к тем, кто в итоге оплачивал счет. Так как двое не смогли заплатить, плату разделили оставшиеся $7 - 2 = 5$ человек. Сумма, которую заплатил каждый из них, равна:

$\frac{175}{5} = 35$ шиллингов.

Проверка: Изначально каждый должен был заплатить $\frac{175}{7} = 25$ шиллингов. Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 35 шиллингов.