Номер 273, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 273, страница 101.

273 Велосипедист проехал $7 \text{ км}$ по шоссе и $5 \text{ км}$ по просёлочной дороге, затратив на весь путь $1 \text{ ч}$. По просёку он ехал со скоростью, на $4 \text{ км/ч}$ меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе? Что ещё можно узнать, используя полученные данные? Сделайте это.

С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по шоссе. Тогда, согласно условию, его скорость по просёлочной дороге равна $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по шоссе, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и составляет $t_1 = \frac{7}{x}$ ч.

Время, затраченное на путь по просёлочной дороге, составляет $t_2 = \frac{5}{x - 4}$ ч.

Общее время в пути равно 1 часу, поэтому мы можем составить уравнение, сложив время, потраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{7}{x} + \frac{5}{x - 4} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей, умножив обе части на $x(x - 4)$. Важно учесть область допустимых значений: скорость не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$. Кроме того, скорость на просёлочной дороге $(x - 4)$ также должна быть положительной, следовательно, $x - 4 > 0$, что означает $x > 4$.

$7(x - 4) + 5x = x(x - 4)$

$7x - 28 + 5x = x^2 - 4x$

$12x - 28 = x^2 - 4x$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 12x + 28 = 0$

$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

Теперь найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-16) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-(-16) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 4$. Корень $x_1 = 14$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = 2$ не подходит, так как в этом случае скорость по просёлочной дороге была бы отрицательной ($2 - 4 = -2$ км/ч), что физически невозможно.

Таким образом, скорость велосипедиста по шоссе составляла 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные? Сделайте это.

Используя найденную скорость по шоссе (14 км/ч), можно вычислить следующие величины:

1. Скорость по просёлочной дороге. Она на 4 км/ч меньше, чем по шоссе:
$14 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

2. Время, затраченное на каждый участок пути.
Время на путь по шоссе: $t_1 = \frac{7 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 0,5$ часа (30 минут).
Время на путь по просёлочной дороге: $t_2 = \frac{5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,5$ часа (30 минут).
Проверка: $0,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 1$ час, что совпадает с общим временем в пути.

3. Общее расстояние, которое проехал велосипедист.
$7 \text{ км} + 5 \text{ км} = 12 \text{ км}$.

4. Среднюю скорость движения на всём пути. Она равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:
$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} = \frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: можно узнать скорость по просёлочной дороге (10 км/ч), время движения по каждому из участков (по 0,5 часа), общее расстояние (12 км) и среднюю скорость на всём пути (12 км/ч).