Номер 279, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными - номер 279, страница 104.

Условие.

279 Постройте график уравнения, затем назовите четыре решения этого уравнения и покажите положение соответствующих точек на графике:

а) $(x - 2)(y - 3) = 0;$

б) $x(y + 2) = 0;$

в) $(y - x)(2y + x) = 0.$

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим уравнение $(x - 2)(y - 3) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2 = 0$ или $y - 3 = 0$.

Из этих уравнений получаем $x = 2$ или $y = 3$.

Графиком уравнения $x = 2$ является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2, 0)$. Графиком уравнения $y = 3$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(2, 3)$.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(2, 0)$: лежит на прямой $x=2$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс $Ox$.
2. Точка $(2, 5)$: лежит на прямой $x=2$, выше точки пересечения прямых.
3. Точка $(0, 3)$: лежит на прямой $y=3$. Это точка пересечения графика с осью ординат $Oy$.
4. Точка $(-1, 3)$: лежит на прямой $y=3$, слева от оси ординат $Oy$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=2$ и $y=3$. Четыре решения: $(2, 0)$, $(2, 5)$, $(0, 3)$, $(-1, 3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $x(y + 2) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 0$ или $y + 2 = 0$.

Из второго уравнения получаем $y = -2$.

Графиком уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось $Oy$). Графиком уравнения $y = -2$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -2)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение оси $Oy$ и прямой $y = -2$, которые пересекаются в точке $(0, -2)$.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(0, 1)$: лежит на оси $Oy$, выше оси $Ox$.
2. Точка $(0, -5)$: лежит на оси $Oy$, ниже прямой $y=-2$.
3. Точка $(3, -2)$: лежит на прямой $y=-2$, справа от оси $Oy$.
4. Точка $(-4, -2)$: лежит на прямой $y=-2$, слева от оси $Oy$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение оси ординат ($x=0$) и горизонтальной прямой $y=-2$. Четыре решения: $(0, 1)$, $(0, -5)$, $(3, -2)$, $(-4, -2)$.

в)

Рассмотрим уравнение $(y - x)(2y + x) = 0$. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y - x = 0$ или $2y + x = 0$.

Преобразуем эти уравнения к виду функций: $y = x$ или $y = -0.5x$.

Графиком уравнения $y = x$ является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. Это биссектриса первого и третьего координатных углов. Графиком уравнения $y = -0.5x$ является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, -1)$.

График исходного уравнения — это объединение этих двух прямых, пересекающихся в начале координат.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(2, 2)$: лежит на прямой $y=x$ в первом координатном углу.
2. Точка $(-3, -3)$: лежит на прямой $y=x$ в третьем координатном углу.
3. Точка $(4, -2)$: лежит на прямой $y=-0.5x$ в четвертом координатном углу.
4. Точка $(-2, 1)$: лежит на прямой $y=-0.5x$ во втором координатном углу.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=x$ и $y=-0.5x$. Четыре решения: $(2, 2)$, $(-3, -3)$, $(4, -2)$, $(-2, 1)$.