Номер 284, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 284, страница 104.

284 Укажите какое-нибудь значение коэффициента k, при котором система

$$ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ kx + y = 3 \end{cases} $$

имеет единственное решение. Существует ли такое значение k, при котором эта система не имеет решений? имеет бесконечно много решений?

Проанализируем систему уравнений в зависимости от значения коэффициента $k$. Каждое уравнение в системе представляет собой прямую на координатной плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих прямых.

Исходная система:

$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ kx + y = 3 \end{cases} $

Для удобства анализа выразим $y$ из каждого уравнения, чтобы представить их в виде $y = mx + c$, где $m$ — угловой коэффициент прямой, а $c$ — смещение по оси y.

Первое уравнение: $2x + y = 7 \implies y = -2x + 7$. Здесь угловой коэффициент $m_1 = -2$, смещение $c_1 = 7$.

Второе уравнение: $kx + y = 3 \implies y = -kx + 3$. Здесь угловой коэффициент $m_2 = -k$, смещение $c_2 = 3$.

Значение k, при котором система имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны, то есть $m_1 \neq m_2$.

Подставим значения угловых коэффициентов:

$-2 \neq -k$

Умножив обе части на -1, получаем:

$k \neq 2$

Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k=2$. В задании требуется указать любое такое значение.

Ответ: Например, при $k=1$.

Существование значения k, при котором система не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($m_1 = m_2$), а смещения по оси y — различны ($c_1 \neq c_2$).

Найдем значение $k$, при котором угловые коэффициенты равны:

$m_1 = m_2 \implies -2 = -k \implies k=2$.

Теперь проверим, различны ли смещения по оси y. У нас $c_1 = 7$ и $c_2 = 3$.

$7 \neq 3$.

Так как условие $c_1 \neq c_2$ выполняется, то при $k=2$ прямые параллельны и не совпадают, а значит, система не имеет решений.

Ответ: Да, существует. Это значение $k=2$.

Существование значения k, при котором система имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($m_1 = m_2$) и смещения по оси y также равны ($c_1 = c_2$).

Из предыдущего пункта мы знаем, что равенство угловых коэффициентов ($m_1 = m_2$) достигается только при $k=2$.

Однако, условие равенства смещений ($c_1 = c_2$) в нашем случае выглядит как $7 = 3$, что является ложным утверждением и не зависит от $k$.

Поскольку невозможно одновременно удовлетворить обоим условиям (равенство угловых коэффициентов и равенство смещений), система никогда не будет иметь бесконечного множества решений.

Ответ: Нет, такого значения $k$ не существует.