Номер 290, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 290, страница 109.

290 Решите систему уравнений двумя способами — сначала способом подстановки, затем способом сложения:

а) $\begin{cases} x + 3y = 8, \\ 2x - y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ m + 2n = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + 5y = 6, \\ 3x + 7y = 4. \end{cases}$

Какой способ в каждом конкретном случае вам показался предпочтительнее?

а) $ \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 2x - y = -5; \end{cases} $

Способ подстановки:
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(8 - 3y) - y = -5$
$16 - 6y - y = -5$
$16 - 7y = -5$
$-7y = -5 - 16$
$-7y = -21$
$y = 3$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 8 - 3(3) = 8 - 9 = -1$
Решение: $(-1, 3)$.

Способ сложения:
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 3(2x - y) = 3(-5); \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 6x - 3y = -15; \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 8 + (-15)$
$7x = -7$
$x = -1$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$-1 + 3y = 8$
$3y = 9$
$y = 3$
Решение: $(-1, 3)$.
Ответ: $(-1, 3)$.

В данном случае способ подстановки кажется предпочтительнее, так как в первом уравнении переменная $x$ имеет коэффициент 1, что позволяет легко выразить её через $y$ без появления дробей.

б) $ \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ m + 2n = 0; \end{cases} $

Способ подстановки:
Из второго уравнения легко выразить $m$:
$m = -2n$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(-2n) - 4n = 20$
$-6n - 4n = 20$
$-10n = 20$
$n = -2$
Теперь найдем $m$:
$m = -2(-2) = 4$
Решение: $(4, -2)$.

Способ сложения:
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $n$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ 2(m + 2n) = 2(0); \end{cases} \implies \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ 2m + 4n = 0; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(3m - 4n) + (2m + 4n) = 20 + 0$
$5m = 20$
$m = 4$
Подставим значение $m$ во второе исходное уравнение:
$4 + 2n = 0$
$2n = -4$
$n = -2$
Решение: $(4, -2)$.
Ответ: $(4, -2)$.

Оба способа в этом случае очень удобны. Способ подстановки выглядит немного проще, так как из второго уравнения ($m+2n=0$) переменная $m$ выражается моментально ($m=-2n$).

в) $ \begin{cases} 2x + 5y = 6, \\ 3x + 7y = 4; \end{cases} $

Способ подстановки:
Выразим $x$ из первого уравнения:
$2x = 6 - 5y \implies x = \frac{6 - 5y}{2}$
Подставим во второе уравнение:
$3 \left(\frac{6 - 5y}{2}\right) + 7y = 4$
Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$3(6 - 5y) + 14y = 8$
$18 - 15y + 14y = 8$
$18 - y = 8$
$y = 18 - 8 = 10$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{6 - 5(10)}{2} = \frac{6 - 50}{2} = \frac{-44}{2} = -22$
Решение: $(-22, 10)$.

Способ сложения:
Чтобы исключить $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ \begin{cases} 3(2x + 5y) = 3(6), \\ -2(3x + 7y) = -2(4); \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 15y = 18, \\ -6x - 14y = -8; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 15y) + (-6x - 14y) = 18 + (-8)$
$y = 10$
Подставим значение $y$ в первое исходное уравнение:
$2x + 5(10) = 6$
$2x + 50 = 6$
$2x = -44$
$x = -22$
Решение: $(-22, 10)$.
Ответ: $(-22, 10)$.

В этом случае способ сложения является предпочтительным. Ни одна из переменных не имеет коэффициента 1, поэтому при использовании способа подстановки приходится работать с дробями, что усложняет вычисления и увеличивает вероятность ошибки. Способ сложения позволяет избежать дробей и провести все вычисления с целыми числами.