Номер 287, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 287, страница 105.

287 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 0, \\ xy = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + x^2 = 4, \\ y - x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 0, \\ y = 4x - x^2. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x - y = 0, \\ xy = 4; \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $x - y = 0 \implies y = x$.
Это уравнение прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, (0; 0) и (2; 2).

2. Преобразуем второе уравнение: $xy = 4 \implies y = \frac{4}{x}$ (при $x \ne 0$).
Это уравнение обратной пропорциональности, её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях (так как коэффициент $k=4 > 0$). Асимптотами являются оси координат. Составим таблицу значений для построения гиперболы:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y = \frac{4}{x}$	-1	-2	-4	4	2	1

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Прямая $y=x$ и гипербола $y=\frac{4}{x}$ пересекаются в двух точках. По графику определяем их координаты: (2; 2) и (-2; -2).

Ответ: (2; 2), (-2; -2).

---

б) $ \begin{cases} y + x^2 = 4, \\ y - x = 2; \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $y + x^2 = 4 \implies y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$.
Это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1).
Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
$y_0 = -0^2 + 4 = 4$.
Вершина находится в точке (0; 4).
Найдем точки пересечения с осью Ох (y=0): $0 = 4 - x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Точки (-2; 0) и (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение: $y - x = 2 \implies y = x + 2$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

• при $x=0, y=2$. Точка (0; 2).
• при $y=0, x=-2$. Точка (-2; 0).

3. Построим параболу и прямую на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. По чертежу определяем их координаты: (-2; 0) и (1; 3).

Ответ: (-2; 0), (1; 3).

---

в) $ \begin{cases} x - y = 0, \\ y = 4x - x^2. \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $x - y = 0 \implies y = x$.
График этого уравнения — прямая, проходящая через начало координат (0; 0) и точку (1; 1).

2. Второе уравнение $y = 4x - x^2$ или $y = -x^2 + 4x$ — это квадратичная функция.
Её график — парабола, ветви которой направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_0 = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.
Вершина находится в точке (2; 4).
Найдем точки пересечения с осью Ох (y=0): $0 = 4x - x^2 \implies x(4-x) = 0 \implies x=0$ или $x=4$. Точки (0; 0) и (4; 0).

3. Построим прямую и параболу на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. Из построения видно, что это точки (0; 0) и (3; 3).

Ответ: (0; 0), (3; 3).