Номер 281, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 281, страница 104.

281 Вы знаете, что система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь бесконечно много решений. Пользуясь рисунком 3.11, запишите систему, соответствующую каждому из этих случаев. Решите алгебраически систему, имеющую одно решение.

1) Система уравнений: $
\begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases}
$

2) Система уравнений: $
\begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases}
$

3) Система уравнений: $
\begin{cases} y + 2x = 4 \\ y + 2x = 4 \end{cases}
$

Puc. 3.11

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от взаимного расположения графиков этих уравнений на координатной плоскости.

• Если графики пересекаются в одной точке, система имеет одно решение.
• Если графики являются параллельными прямыми, система не имеет решений.
• Если графики совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Проанализируем каждый из представленных на рисунке 3.11 случаев и запишем соответствующие системы уравнений.

Система, имеющая одно решение

Этому случаю соответствует рисунок 1), на котором изображены две прямые, пересекающиеся в одной точке. Координаты этой точки являются единственным решением системы. Система уравнений, соответствующая этому графику, записана на рисунке: $$ \begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases} $$ Ответ: Система, имеющая одно решение: $ \begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases} $.

Система, не имеющая решений

Этому случаю соответствует рисунок 2), на котором изображены две параллельные прямые. Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, у системы нет общих точек, а значит, и нет решений. Система уравнений для этого случая: $$ \begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases} $$ Ответ: Система, не имеющая решений: $ \begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases} $.

Система, имеющая бесконечно много решений

Этому случаю соответствует рисунок 3), на котором показана одна прямая. Это означает, что графики двух уравнений системы совпадают. Каждая точка этой прямой является решением системы. На графике дано уравнение одной из прямых: $y + 2x = 4$. Второе уравнение системы должно быть эквивалентно первому. Например, его можно получить, умножив обе части первого уравнения на любое число, отличное от нуля (например, на 2): $2(y + 2x) = 2 \cdot 4$, что дает $2y + 4x = 8$. Таким образом, пример системы для данного случая: $$ \begin{cases} y + 2x = 4 \\ 2y + 4x = 8 \end{cases} $$ Ответ: Пример системы, имеющей бесконечно много решений: $ \begin{cases} y + 2x = 4 \\ 2y + 4x = 8 \end{cases} $.

Алгебраическое решение системы, имеющей одно решение

Теперь решим систему, которая имеет одно решение, методом подстановки: $$ \begin{cases} y - x = 3 & (1) \\ y + 2x = -3 & (2) \end{cases} $$ Из первого уравнения (1) выразим переменную $y$: $$ y = x + 3 $$ Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение (2) системы: $$ (x + 3) + 2x = -3 $$ Решим полученное уравнение с одной переменной $x$: $$ 3x + 3 = -3 $$ $$ 3x = -3 - 3 $$ $$ 3x = -6 $$ $$ x = \frac{-6}{3} $$ $$ x = -2 $$ Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение $y = x + 3$: $$ y = -2 + 3 $$ $$ y = 1 $$ Таким образом, решением системы является пара чисел $(-2; 1)$.
Ответ: $(-2; 1)$.