Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

278 Найдите в данном перечне уравнения парабол, гипербол, окружностей, прямых и постройте графики этих уравнений в указанном порядке:

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$;

2) $x^2 + y^2 = 25$;

3) $xy = -4$;

4) $x^2 - x - y = 0$;

5) $y + 2x = 6$;

6) $3y - 6 = 0$;

7) $4 - 2xy = 0$;

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Для решения задачи сначала классифицируем каждое уравнение, а затем построим их графики в указанном порядке: параболы, гиперболы, окружности, прямые.

Параболы

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$
Выразим $y$ из уравнения: $\frac{1}{3}y = x^2 - 2$, откуда $y = 3x^2 - 6$. Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3, b=0, c=-6$. Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты вершины и несколько точек.
Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$. $y_0 = 3(0)^2 - 6 = -6$. Координаты вершины: $(0, -6)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 3x^2 - 6 \Rightarrow 3x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=2, y=3(2)^2 - 6 = 6$; при $x=-2, y=3(-2)^2 - 6 = 6$. График — парабола с вершиной в $(0, -6)$, проходящая через точки $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(-2, 6)$ и $(2, 6)$.
Ответ: Уравнение $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$ является уравнением параболы.

4) $x^2 - x - y = 0$
Выразим $y$ из уравнения: $y = x^2 - x$. Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=-1, c=0$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты вершины и несколько точек.
Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. $y_0 = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. Координаты вершины: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.
Найдем точки пересечения с осями. С осью Ox (где $y=0$): $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=1$. Точки: $(0, 0)$ и $(1, 0)$. С осью Oy (где $x=0$): $y = 0^2 - 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. График — парабола с вершиной в $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
Ответ: Уравнение $x^2 - x - y = 0$ является уравнением параболы.

Гиперболы

3) $xy = -4$
Выразим $y$ из уравнения: $y = -\frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=-4$. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек: Если $x=1, y=-4$. Точка $(1, -4)$. Если $x=2, y=-2$. Точка $(2, -2)$. Если $x=4, y=-1$. Точка $(4, -1)$. Если $x=-1, y=4$. Точка $(-1, 4)$. Если $x=-2, y=2$. Точка $(-2, 2)$. Если $x=-4, y=1$. Точка $(-4, 1)$. График — гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях, проходящая через указанные точки.
Ответ: Уравнение $xy = -4$ является уравнением гиперболы.

7) $4 - 2xy = 0$
Преобразуем уравнение: $2xy = 4 \Rightarrow xy = 2$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x}$. Это уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=2$. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек: Если $x=1, y=2$. Точка $(1, 2)$. Если $x=2, y=1$. Точка $(2, 1)$. Если $x=-1, y=-2$. Точка $(-1, -2)$. Если $x=-2, y=-1$. Точка $(-2, -1)$. График — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях, проходящая через указанные точки.
Ответ: Уравнение $4 - 2xy = 0$ является уравнением гиперболы.

Окружности

2) $x^2 + y^2 = 25$
Это уравнение вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$. В данном случае $h=0, k=0$, а $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R=5$. Графиком является окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом 5. Окружность пересекает оси координат в точках $(5, 0), (-5, 0), (0, 5)$ и $(0, -5)$.
Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ является уравнением окружности.

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$
Преобразуем уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$. В данном случае $h=0, k=0$, а $R^2 = 9$, следовательно, радиус $R=3$. Графиком является окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом 3. Окружность пересекает оси координат в точках $(3, 0), (-3, 0), (0, 3)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 - 9 = 0$ является уравнением окружности.

Прямые

5) $y + 2x = 6$
Это линейное уравнение. Выразим $y$: $y = -2x + 6$. Графиком является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y = -2(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$. Если $y=0$, то $0 = -2x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$. Проводим прямую через точки $(0, 6)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Уравнение $y + 2x = 6$ является уравнением прямой.

6) $3y - 6 = 0$
Это линейное уравнение. Преобразуем его: $3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Это уравнение прямой, параллельной оси Ox. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно 2. График — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$.
Ответ: Уравнение $3y - 6 = 0$ является уравнением прямой.

279 Постройте график уравнения, затем назовите четыре решения этого уравнения и покажите положение соответствующих точек на графике:

а) $(x - 2)(y - 3) = 0;$

б) $x(y + 2) = 0;$

в) $(y - x)(2y + x) = 0.$

а)

Рассмотрим уравнение $(x - 2)(y - 3) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2 = 0$ или $y - 3 = 0$.

Из этих уравнений получаем $x = 2$ или $y = 3$.

Графиком уравнения $x = 2$ является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2, 0)$. Графиком уравнения $y = 3$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(2, 3)$.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(2, 0)$: лежит на прямой $x=2$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс $Ox$.
2. Точка $(2, 5)$: лежит на прямой $x=2$, выше точки пересечения прямых.
3. Точка $(0, 3)$: лежит на прямой $y=3$. Это точка пересечения графика с осью ординат $Oy$.
4. Точка $(-1, 3)$: лежит на прямой $y=3$, слева от оси ординат $Oy$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=2$ и $y=3$. Четыре решения: $(2, 0)$, $(2, 5)$, $(0, 3)$, $(-1, 3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $x(y + 2) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 0$ или $y + 2 = 0$.

Из второго уравнения получаем $y = -2$.

Графиком уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось $Oy$). Графиком уравнения $y = -2$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -2)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение оси $Oy$ и прямой $y = -2$, которые пересекаются в точке $(0, -2)$.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(0, 1)$: лежит на оси $Oy$, выше оси $Ox$.
2. Точка $(0, -5)$: лежит на оси $Oy$, ниже прямой $y=-2$.
3. Точка $(3, -2)$: лежит на прямой $y=-2$, справа от оси $Oy$.
4. Точка $(-4, -2)$: лежит на прямой $y=-2$, слева от оси $Oy$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение оси ординат ($x=0$) и горизонтальной прямой $y=-2$. Четыре решения: $(0, 1)$, $(0, -5)$, $(3, -2)$, $(-4, -2)$.

в)

Рассмотрим уравнение $(y - x)(2y + x) = 0$. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y - x = 0$ или $2y + x = 0$.

Преобразуем эти уравнения к виду функций: $y = x$ или $y = -0.5x$.

Графиком уравнения $y = x$ является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. Это биссектриса первого и третьего координатных углов. Графиком уравнения $y = -0.5x$ является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, -1)$.

График исходного уравнения — это объединение этих двух прямых, пересекающихся в начале координат.

Четыре решения этого уравнения (точки на графике):
1. Точка $(2, 2)$: лежит на прямой $y=x$ в первом координатном углу.
2. Точка $(-3, -3)$: лежит на прямой $y=x$ в третьем координатном углу.
3. Точка $(4, -2)$: лежит на прямой $y=-0.5x$ в четвертом координатном углу.
4. Точка $(-2, 1)$: лежит на прямой $y=-0.5x$ во втором координатном углу.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=x$ и $y=-0.5x$. Четыре решения: $(2, 2)$, $(-3, -3)$, $(4, -2)$, $(-2, 1)$.

280. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого — объединение:

а) параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$;

б) пары прямых $y = x + 1$ и $y = x - 1$.

Чтобы составить уравнение с двумя переменными, график которого является объединением нескольких графиков, можно использовать следующий принцип. Если графики заданы уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$ и так далее, то уравнение, описывающее их объединение, будет иметь вид $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot \dots = 0$. Это вытекает из того факта, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю.

а)

Требуется составить уравнение, график которого является объединением параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Сначала представим каждое уравнение в виде, где правая часть равна нулю:

1. Уравнение параболы $y = x^2$ преобразуется в $y - x^2 = 0$.

2. Уравнение прямой $y = -2$ преобразуется в $y + 2 = 0$.

Теперь, чтобы получить уравнение, описывающее объединение этих двух графиков, перемножим левые части полученных уравнений и приравняем результат к нулю:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Это уравнение удовлетворяется, если $y - x^2 = 0$ (что соответствует параболе) или если $y + 2 = 0$ (что соответствует прямой). Таким образом, график этого уравнения является объединением исходных графиков.

При желании можно раскрыть скобки: $y^2 + 2y - x^2y - 2x^2 = 0$.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$.

б)

Требуется составить уравнение для объединения двух прямых: $y = x + 1$ и $y = x - 1$.

Действуем по тому же алгоритму. Приводим уравнения к виду $F(x, y) = 0$:

1. Для прямой $y = x + 1$ получаем $y - x - 1 = 0$.

2. Для прямой $y = x - 1$ получаем $y - x + 1 = 0$.

Перемножаем левые части этих уравнений:

$(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$

Это и есть искомое уравнение. Его график — это совокупность всех точек, которые принадлежат либо первой, либо второй прямой.

Данное выражение можно упростить, если заметить, что оно является формулой разности квадратов вида $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$(y - x)^2 - 1^2 = 0$

$(y - x)^2 - 1 = 0$

Раскрыв скобки, можно получить еще одну форму записи: $y^2 - 2xy + x^2 - 1 = 0$.

Ответ: $(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$.

281 Вы знаете, что система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь бесконечно много решений. Пользуясь рисунком 3.11, запишите систему, соответствующую каждому из этих случаев. Решите алгебраически систему, имеющую одно решение.

1) Система уравнений: $
\begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases}
$

2) Система уравнений: $
\begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases}
$

3) Система уравнений: $
\begin{cases} y + 2x = 4 \\ y + 2x = 4 \end{cases}
$

Puc. 3.11

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от взаимного расположения графиков этих уравнений на координатной плоскости.

• Если графики пересекаются в одной точке, система имеет одно решение.
• Если графики являются параллельными прямыми, система не имеет решений.
• Если графики совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Проанализируем каждый из представленных на рисунке 3.11 случаев и запишем соответствующие системы уравнений.

Система, имеющая одно решение

Этому случаю соответствует рисунок 1), на котором изображены две прямые, пересекающиеся в одной точке. Координаты этой точки являются единственным решением системы. Система уравнений, соответствующая этому графику, записана на рисунке: $$ \begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases} $$ Ответ: Система, имеющая одно решение: $ \begin{cases} y - x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases} $.

Система, не имеющая решений

Этому случаю соответствует рисунок 2), на котором изображены две параллельные прямые. Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, у системы нет общих точек, а значит, и нет решений. Система уравнений для этого случая: $$ \begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases} $$ Ответ: Система, не имеющая решений: $ \begin{cases} 2y - x = 6 \\ 2y - x = -4 \end{cases} $.

Система, имеющая бесконечно много решений

Этому случаю соответствует рисунок 3), на котором показана одна прямая. Это означает, что графики двух уравнений системы совпадают. Каждая точка этой прямой является решением системы. На графике дано уравнение одной из прямых: $y + 2x = 4$. Второе уравнение системы должно быть эквивалентно первому. Например, его можно получить, умножив обе части первого уравнения на любое число, отличное от нуля (например, на 2): $2(y + 2x) = 2 \cdot 4$, что дает $2y + 4x = 8$. Таким образом, пример системы для данного случая: $$ \begin{cases} y + 2x = 4 \\ 2y + 4x = 8 \end{cases} $$ Ответ: Пример системы, имеющей бесконечно много решений: $ \begin{cases} y + 2x = 4 \\ 2y + 4x = 8 \end{cases} $.

Алгебраическое решение системы, имеющей одно решение

Теперь решим систему, которая имеет одно решение, методом подстановки: $$ \begin{cases} y - x = 3 & (1) \\ y + 2x = -3 & (2) \end{cases} $$ Из первого уравнения (1) выразим переменную $y$: $$ y = x + 3 $$ Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение (2) системы: $$ (x + 3) + 2x = -3 $$ Решим полученное уравнение с одной переменной $x$: $$ 3x + 3 = -3 $$ $$ 3x = -3 - 3 $$ $$ 3x = -6 $$ $$ x = \frac{-6}{3} $$ $$ x = -2 $$ Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение $y = x + 3$: $$ y = -2 + 3 $$ $$ y = 1 $$ Таким образом, решением системы является пара чисел $(-2; 1)$.
Ответ: $(-2; 1)$.

282 Каково взаимное положение в координатной плоскости графиков уравнений системы? Имеет ли система решения и если имеет, то сколько?

а) $\begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0,5x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x = 3 - 2y, \\ 2x = 6 - 4y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2y - x = 5, \\ 4y + 2x = 10. \end{cases}$

а) Для определения взаимного положения графиков уравнений системы и количества решений, приведем каждое уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.
Система уравнений: $ \begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение: $y - 3x = 0 \implies y = 3x$.
Угловой коэффициент этого графика $k_1 = 3$.
Преобразуем второе уравнение: $3y - x = 6 \implies 3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$.
Угловой коэффициент этого графика $k_2 = \frac{1}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$, так как $3 \neq \frac{1}{3}$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: Графики уравнений пересекаются. Система имеет одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases} $
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$x + 2y = 3 \implies 2y = -x + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2} = -0.5$, а свободный член $b_1 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Второе уравнение уже представлено в нужном виде: $y = -0.5x$.
Угловой коэффициент $k_2 = -0.5$, а свободный член $b_2 = 0$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Графики уравнений параллельны. Система не имеет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 3 - 2y \\ 2x = 6 - 4y \end{cases} $
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $x = 3 - 2y \implies 2y = 3 - x \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = \frac{3}{2}$.
Второе уравнение: $2x = 6 - 4y \implies 4y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{4} \implies y = -\frac{2}{4}x + \frac{6}{4} \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = \frac{3}{2}$.
Поскольку и угловые коэффициенты, и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), графики уравнений являются одной и той же прямой (совпадают). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: Графики уравнений совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2y - x = 5 \\ 4y + 2x = 10 \end{cases} $
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y - x = 5 \implies 2y = x + 5 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $4y + 2x = 10 \implies 4y = -2x + 10 \implies y = -\frac{2}{4}x + \frac{10}{4} \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$, так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: Графики уравнений пересекаются. Система имеет одно решение.

283 Подберите какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением $3x + 2y = 4$ составило бы систему:

1) имеющую одно решение;

2) имеющую бесконечно много решений;

3) не имеющую решений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов уравнений. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этих прямых.

• Одно решение: прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что соответствует условию $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Бесконечно много решений: прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Нам дано уравнение $3x + 2y = 4$. В нём $a_1 = 3$, $b_1 = 2$ и $c_1 = 4$. Подберём второе уравнение для каждого из трёх случаев.

1) имеющую одно решение

Чтобы система имела одно решение, нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{3}{a_2} \neq \frac{2}{b_2}$. Для этого достаточно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$, не пропорциональные 3 и 2. Например, возьмем $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим условие: $\frac{3}{1} \neq \frac{2}{1}$, что является верным. Свободный член $c_2$ может быть любым, например, пусть $c_2 = 1$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x + y = 1$. Система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Эта система будет иметь одно решение, так как прямые, являющиеся графиками этих уравнений, имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются.

Ответ: Например, $x + y = 1$.

2) имеющую бесконечно много решений

Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть эквивалентно первому. Это значит, что все его коэффициенты должны быть пропорциональны коэффициентам первого уравнения с одним и тем же множителем, то есть $\frac{3}{a_2} = \frac{2}{b_2} = \frac{4}{c_2}$.

Самый простой способ получить такое уравнение — умножить исходное уравнение на любое число, отличное от нуля. Например, умножим уравнение $3x + 2y = 4$ на 2:

$(3x + 2y) \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$6x + 4y = 8$

В этом случае $a_2 = 6, b_2 = 4, c_2 = 8$. Проверим соотношение: $\frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Например, $6x + 4y = 8$.

3) не имеющую решений

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при переменных $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам в первом, а свободный член — не должен быть им пропорционален. То есть должно выполняться условие $\frac{3}{a_2} = \frac{2}{b_2} \neq \frac{4}{c_2}$.

Возьмем коэффициенты при $x$ и $y$ из предыдущего примера: $a_2=6$ и $b_2=4$. Тогда левая часть уравнения будет $6x + 4y$. Соотношение $\frac{3}{6} = \frac{2}{4}$ выполняется. Теперь подберем $c_2$ так, чтобы соотношение $\frac{4}{c_2}$ не равнялось $\frac{1}{2}$. Это означает, что $c_2 \neq 8$. Мы можем выбрать любое число, кроме 8, например, $c_2 = 5$.

Получаем уравнение $6x + 4y = 5$. Система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 6x + 4y = 5 \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как графики уравнений — это параллельные прямые.

Ответ: Например, $6x + 4y = 5$.

284 Укажите какое-нибудь значение коэффициента k, при котором система

$$ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ kx + y = 3 \end{cases} $$

имеет единственное решение. Существует ли такое значение k, при котором эта система не имеет решений? имеет бесконечно много решений?

Проанализируем систему уравнений в зависимости от значения коэффициента $k$. Каждое уравнение в системе представляет собой прямую на координатной плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих прямых.

Исходная система:

$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ kx + y = 3 \end{cases} $

Для удобства анализа выразим $y$ из каждого уравнения, чтобы представить их в виде $y = mx + c$, где $m$ — угловой коэффициент прямой, а $c$ — смещение по оси y.

Первое уравнение: $2x + y = 7 \implies y = -2x + 7$. Здесь угловой коэффициент $m_1 = -2$, смещение $c_1 = 7$.

Второе уравнение: $kx + y = 3 \implies y = -kx + 3$. Здесь угловой коэффициент $m_2 = -k$, смещение $c_2 = 3$.

Значение k, при котором система имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны, то есть $m_1 \neq m_2$.

Подставим значения угловых коэффициентов:

$-2 \neq -k$

Умножив обе части на -1, получаем:

$k \neq 2$

Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k=2$. В задании требуется указать любое такое значение.

Ответ: Например, при $k=1$.

Существование значения k, при котором система не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($m_1 = m_2$), а смещения по оси y — различны ($c_1 \neq c_2$).

Найдем значение $k$, при котором угловые коэффициенты равны:

$m_1 = m_2 \implies -2 = -k \implies k=2$.

Теперь проверим, различны ли смещения по оси y. У нас $c_1 = 7$ и $c_2 = 3$.

$7 \neq 3$.

Так как условие $c_1 \neq c_2$ выполняется, то при $k=2$ прямые параллельны и не совпадают, а значит, система не имеет решений.

Ответ: Да, существует. Это значение $k=2$.

Существование значения k, при котором система имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($m_1 = m_2$) и смещения по оси y также равны ($c_1 = c_2$).

Из предыдущего пункта мы знаем, что равенство угловых коэффициентов ($m_1 = m_2$) достигается только при $k=2$.

Однако, условие равенства смещений ($c_1 = c_2$) в нашем случае выглядит как $7 = 3$, что является ложным утверждением и не зависит от $k$.

Поскольку невозможно одновременно удовлетворить обоим условиям (равенство угловых коэффициентов и равенство смещений), система никогда не будет иметь бесконечного множества решений.

Ответ: Нет, такого значения $k$ не существует.