Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решите уравнение (№ 250-253):

a) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6;$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1;$

в) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2 - x}{3x};$

г) $\frac{z - 2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3};$

д) $\frac{y - 1}{y} + \frac{2}{y^2} = 2;$

е) $\frac{8}{t^2} - \frac{2 - t}{t} = 2.$

а) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели дробей не равны нулю: $x \neq 0$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:

$\frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{7}{4x} = 6$

$\frac{16 - 7}{4x} = 6$

$\frac{9}{4x} = 6$

Умножим обе части уравнения на $4x$ (так как $x \neq 0$):

$9 = 6 \cdot 4x$

$9 = 24x$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{24}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{3}{8}$

Полученное значение $x = \frac{3}{8}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{3}{8}$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$

ОДЗ: $y \neq 0$.

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{5}{2y} - \frac{3}{y} = 1 - \frac{1}{2}$

Упростим правую часть и приведем к общему знаменателю $2y$ дроби в левой части:

$\frac{5}{2y} - \frac{3 \cdot 2}{2y} = \frac{1}{2}$

$\frac{5 - 6}{2y} = \frac{1}{2}$

$\frac{-1}{2y} = \frac{1}{2}$

Из пропорции следует, что $2y \cdot 1 = -1 \cdot 2$:

$2y = -2$

$y = -1$

Значение $y = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -1$

в) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель для всех дробей: НОК(15x, 5, 3x) = $15x$. Умножим обе части уравнения на $15x$:

$15x \cdot \left(\frac{4}{15x} - \frac{1}{5}\right) = 15x \cdot \frac{2-x}{3x}$

$4 - 3x = 5(2-x)$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$4 - 3x = 10 - 5x$

$5x - 3x = 10 - 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 3$

г) $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3}$

ОДЗ: $z \neq 0$.

Общий знаменатель для всех дробей — $3z$. Умножим обе части уравнения на $3z$:

$3z \cdot \frac{z-2}{z} = 3z \cdot \left(\frac{4}{3z} - \frac{z}{3}\right)$

$3(z-2) = 4 - z \cdot z$

$3z - 6 = 4 - z^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$z^2 + 3z - 6 - 4 = 0$

$z^2 + 3z - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -3, а произведение равно -10. Корнями являются числа -5 и 2.

$z_1 = -5$, $z_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = -5, z_2 = 2$

д) $\frac{y-1}{y} + \frac{2}{y^2} = 2$

ОДЗ: $y \neq 0$.

Общий знаменатель — $y^2$. Умножим обе части уравнения на $y^2$:

$y^2 \cdot \left(\frac{y-1}{y} + \frac{2}{y^2}\right) = 2 \cdot y^2$

$y(y-1) + 2 = 2y^2$

$y^2 - y + 2 = 2y^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0 = 2y^2 - y^2 + y - 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корнями являются числа 1 и -2.

$y_1 = 1$, $y_2 = -2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -2$

е) $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2$

ОДЗ: $t \neq 0$.

Общий знаменатель — $t^2$. Умножим обе части уравнения на $t^2$:

$t^2 \cdot \left(\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t}\right) = 2 \cdot t^2$

$8 - t(2-t) = 2t^2$

$8 - 2t + t^2 = 2t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0 = 2t^2 - t^2 + 2t - 8$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Корнями являются числа 2 и -4.

$t_1 = 2$, $t_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $t_1 = 2, t_2 = -4$

Решите уравнение (№ 250-253):

251 a) $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5; $

б) $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1; $

в) $ \frac{3z-1}{4z+12} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}; $

г) $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}; $

д) $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}; $

е) $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5 $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ y+1 \neq 0 $, откуда $ y \neq -1 $.

Общий знаменатель для дробей в левой части уравнения — $ 2(y+1) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2 \cdot 2}{2(y+1)} - \frac{3}{2(y+1)} = 5 $

$ \frac{4-3}{2(y+1)} = 5 $

$ \frac{1}{2(y+1)} = 5 $

Умножим обе части уравнения на $ 2(y+1) $, учитывая ОДЗ.

$ 1 = 5 \cdot 2(y+1) $

$ 1 = 10(y+1) $

$ 1 = 10y + 10 $

$ 10y = 1 - 10 $

$ 10y = -9 $

$ y = -0.9 $

Полученное значение $ y = -0.9 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ y \neq -1 $).

Ответ: $ y = -0.9 $

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1 $

ОДЗ: $ z-2 \neq 0 $, откуда $ z \neq 2 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(z-2) $.

$ 3(z-2) \cdot \frac{1}{3(z-2)} = 3(z-2) \cdot \frac{3}{z-2} + 3(z-2) \cdot 1 $

$ 1 = 3 \cdot 3 + 3(z-2) $

$ 1 = 9 + 3z - 6 $

$ 1 = 3 + 3z $

$ 3z = 1 - 3 $

$ 3z = -2 $

$ z = -\frac{2}{3} $

Полученное значение $ z = -\frac{2}{3} $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ z \neq 2 $).

Ответ: $ z = -\frac{2}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3z-1}{4z+12} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4} $

Разложим знаменатель $ 4z+12 $ на множители: $ 4(z+3) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{3z-1}{4(z+3)} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4} $

ОДЗ: $ z+3 \neq 0 $, откуда $ z \neq -3 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 4(z+3) $.

$ (3z-1) - 4(z+2) = 1(z+3) $

$ 3z - 1 - 4z - 8 = z + 3 $

$ -z - 9 = z + 3 $

$ -9 - 3 = z + z $

$ -12 = 2z $

$ z = -6 $

Полученное значение $ z = -6 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ z \neq -3 $).

Ответ: $ z = -6 $

г)

Исходное уравнение: $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3} $

Разложим знаменатель $ 3x-6 $ на множители: $ 3(x-2) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{x+7}{3(x-2)} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(x-2) $.

$ (x+7) - 3(2x-3) = 1(x-2) $

$ x + 7 - 6x + 9 = x - 2 $

$ -5x + 16 = x - 2 $

$ 16 + 2 = x + 5x $

$ 18 = 6x $

$ x = 3 $

Полученное значение $ x=3 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ x \neq 2 $).

Ответ: $ x = 3 $

д)

Исходное уравнение: $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y} $

Разложим знаменатель $ y^2-y $ на множители: $ y(y-1) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y(y-1)} $

ОДЗ: $ y-1 \neq 0 $ и $ y \neq 0 $, откуда $ y \neq 1 $ и $ y \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ y(y-1) $.

$ y(y+1) = 2 $

$ y^2 + y = 2 $

$ y^2 + y - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: $ y_1 + y_2 = -1 $, $ y_1 \cdot y_2 = -2 $. Корни: $ y_1 = -2 $, $ y_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ y_1 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \neq 1 $ и $ -2 \neq 0 $).
$ y_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ y=1 $ знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ y = -2 $

е)

Исходное уравнение: $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x} $

Разложим знаменатель $ x^2-x $ на множители: $ x(x-1) $. Уравнение примет вид:

$ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x(x-1)} $

ОДЗ: $ x-1 \neq 0 $ и $ x \neq 0 $, откуда $ x \neq 1 $ и $ x \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ x(x-1) $.

$ 1 \cdot x(x-1) + 2 \cdot x = 2 $

$ x^2 - x + 2x = 2 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

Это такое же квадратное уравнение, как в пункте д). Корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \neq 1 $ и $ -2 \neq 0 $).
$ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ x=1 $ знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ x = -2 $

Решите уравнение (№ 250–253):

252 a) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$;

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$;

г) $\frac{5}{x} + x = 6$;

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$;

е) $6 = \frac{5}{z} - z$.

а) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$
Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $z$ определяется условием $z \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $15z$:
$15z \cdot z - 15z \cdot \frac{1}{z} = 15z \cdot \frac{16}{15}$
$15z^2 - 15 = 16z$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$:
$15z^2 - 16z - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$z_1 = \frac{-(-16) + 34}{2 \cdot 15} = \frac{16 + 34}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$
$z_2 = \frac{-(-16) - 34}{2 \cdot 15} = \frac{16 - 34}{30} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$
Оба найденных корня не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $z_1 = \frac{5}{3}; z_2 = -\frac{3}{5}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x$:
$2x \cdot x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot (-\frac{5}{2})$
$2x^2 + 2 = -5x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 + 5x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = -2; x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$2y \cdot y = 5 \cdot y - \frac{3}{y} \cdot y$
$2y^2 = 5y - 3$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2y^2 - 5y + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 1$.
$y_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $y_1 = 1; y_2 = \frac{3}{2}$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$\frac{5}{x} \cdot x + x \cdot x = 6 \cdot x$
$5 + x^2 = 6x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 4$.
$x_1 = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 1; x_2 = 5$.

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $y$:
$8 \cdot y - \frac{1}{y} \cdot y = 7y \cdot y$
$8y - 1 = 7y^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$7y^2 - 8y + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = 6$.
$y_1 = \frac{-(-8) + 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$y_2 = \frac{-(-8) - 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $y_1 = \frac{1}{7}; y_2 = 1$.

е) $6 = \frac{5}{z} - z$
ОДЗ: $z \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $z$:
$6 \cdot z = \frac{5}{z} \cdot z - z \cdot z$
$6z = 5 - z^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$z^2 + 6z - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
Найдем корни: $\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.
$z_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{14})}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$
$z_1 = -3 + \sqrt{14}$
$z_2 = -3 - \sqrt{14}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $z_1 = -3 + \sqrt{14}; z_2 = -3 - \sqrt{14}$.

Решите уравнение (№ 250-253):

253 а) $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1; $

б) $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}; $

в) $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}; $

г) $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3; $

д) $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4; $

е) $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}. $

а) $\frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Приведем все слагаемые в уравнении к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{5(x+1)}{x(x+1)} = \frac{8x}{x(x+1)} + \frac{x(x+1)}{x(x+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$5(x+1) = 8x + x(x+1)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$5x + 5 = 8x + x^2 + x$

$5x + 5 = x^2 + 9x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 5x - 5 = 0$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -5$.

б) $\frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}$

ОДЗ: $t-6 \neq 0$ и $t \neq 0$, следовательно, $t \neq 6$ и $t \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $t(t-6)$:

$1 \cdot t + 3 \cdot t(t-6) = 10 \cdot (t-6)$

Раскроем скобки и упростим:

$t + 3t^2 - 18t = 10t - 60$

$3t^2 - 17t = 10t - 60$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3t^2 - 17t - 10t + 60 = 0$

$3t^2 - 27t + 60 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 9$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 20$. Корни уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; 5$.

в) $\frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $y-2 \neq 0$, $y \neq 0$. Следовательно, $y \neq 2$ и $y \neq 0$.

Общий знаменатель $2y(y-2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4 \cdot 2y - 3 \cdot 2(y-2) = 1 \cdot y(y-2)$

Раскроем скобки:

$8y - 6(y-2) = y^2 - 2y$

$8y - 6y + 12 = y^2 - 2y$

$2y + 12 = y^2 - 2y$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 2y - 2y - 12 = 0$

$y^2 - 4y - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 4$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = -12$. Корни уравнения: $y_1 = 6$, $y_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -2$.

г) $\frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -\frac{3}{2}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(2x+3)$:

$4(2x+3) + 7x = 3x(2x+3)$

Раскроем скобки и упростим:

$8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x$

$15x + 12 = 6x^2 + 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$6x^2 + 9x - 15x - 12 = 0$

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; -1$.

д) $\frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4$

ОДЗ: $y-1 \neq 0$ и $y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq 1$ и $y \neq -1$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(y-1)(y+1)$:

$y(y+1) + 6(y-1) = 4(y-1)(y+1)$

Раскроем скобки:

$y^2 + y + 6y - 6 = 4(y^2 - 1)$

$y^2 + 7y - 6 = 4y^2 - 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y^2 - y^2 - 7y - 4 + 6 = 0$

$3y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7+5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7-5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; \frac{1}{3}$.

е) $\frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}$

ОДЗ: $z-2 \neq 0$ и $z+2 \neq 0$, следовательно, $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

Перенесем дроби в одну сторону, а число в другую:

$\frac{8}{z-2} - \frac{8}{z+2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(z-2)(z+2)$:

$\frac{8(z+2) - 8(z-2)}{(z-2)(z+2)} = 1$

$\frac{8z + 16 - 8z + 16}{z^2 - 4} = 1$

$\frac{32}{z^2 - 4} = 1$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$z^2 - 4 = 32$

$z^2 = 36$

Отсюда $z_1 = 6$ и $z_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -6$.

254 Известно, что сумма некоторого числа и числа, ему обратного, равна 2,9. Найдите это число.

Пусть искомое число равно $x$. По условию, это число не равно нулю, так как для него существует обратное число. Число, обратное к $x$, равно $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, сумма этого числа и обратного ему числа равна 2,9. Мы можем составить следующее уравнение:

$x + \frac{1}{x} = 2,9$

Для решения этого уравнения преобразуем его. Сначала представим десятичную дробь 2,9 в виде обыкновенной дроби:

$2,9 = \frac{29}{10}$

Теперь подставим это значение в уравнение:

$x + \frac{1}{x} = \frac{29}{10}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $10x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$10x \cdot x + 10x \cdot \frac{1}{x} = 10x \cdot \frac{29}{10}$

$10x^2 + 10 = 29x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 29x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 10$, $b = -29$, $c = 10$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$

Оба найденных числа удовлетворяют условию задачи. Если искомое число 2,5, то обратное ему — 0,4, и их сумма $2,5 + 0,4 = 2,9$. Если искомое число 0,4, то обратное ему — 2,5, и их сумма $0,4 + 2,5 = 2,9$.

Ответ: 2,5 или 0,4.

255 Известно, что если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится $0,45$. Найдите данное число.

Пусть искомое число – это $x$. Тогда число, ему обратное, – это $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится 0,45. Это можно записать в виде уравнения:

$x - \frac{1}{x} = 0,45$

Для решения уравнения сначала представим десятичную дробь 0,45 в виде обыкновенной дроби:

$0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$

Теперь уравнение выглядит так:

$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$

Умножим обе части уравнения на $20x$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $x \neq 0$):

$20x \cdot x - 20x \cdot \frac{1}{x} = 20x \cdot \frac{9}{20}$

$20x^2 - 20 = 9x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$20x^2 - 9x - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=20$, $b=-9$, $c=-20$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + 41}{2 \cdot 20} = \frac{9 + 41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4} = 1,25$

$x_2 = \frac{-(-9) - 41}{2 \cdot 20} = \frac{9 - 41}{40} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

Мы получили два возможных числа, которые удовлетворяют условию задачи. Сделаем проверку для каждого из них.

1. Если данное число равно $1,25$, то обратное ему число равно $\frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Разность: $1,25 - 0,8 = 0,45$. Решение верное.

2. Если данное число равно $-0,8$, то обратное ему число равно $\frac{1}{-0,8} = \frac{1}{-4/5} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
Разность: $-0,8 - (-1,25) = -0,8 + 1,25 = 0,45$. Решение также верное.

Ответ: $1,25$ или $-0,8$.

256 Найдите корни уравнения:

а) $\frac{x+9}{x+3} = x - 1$;

б) $x = \frac{2x}{3x - 1}$;

в) $\frac{2}{2x+5} = x + 1$;

г) $\frac{5x - 2}{x} = 3x$.

а) $\frac{x + 9}{x + 3} = x - 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на $(x+3)$, чтобы избавиться от дроби:

$x + 9 = (x - 1)(x + 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 9 = x^2 + 3x - x - 3$

$x + 9 = x^2 + 2x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x - 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$.

Или можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Оба корня ($3$ и $-4$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$), поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -4$.

б) $x = \frac{2x}{3x - 1}$

ОДЗ: $3x - 1 \neq 0$, следовательно, $3x \neq 1$, $x \neq \frac{1}{3}$.

Умножим обе части уравнения на $(3x - 1)$:

$x(3x - 1) = 2x$

$3x^2 - x = 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - x - 2x = 0$

$3x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 1 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Оба корня ($0$ и $1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{1}{3}$).

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

в) $\frac{2}{2x + 5} = x + 1$

ОДЗ: $2x + 5 \neq 0$, следовательно, $2x \neq -5$, $x \neq -\frac{5}{2}$ (или $-2.5$).

Умножим обе части уравнения на $(2x + 5)$:

$2 = (x + 1)(2x + 5)$

Раскроем скобки:

$2 = 2x^2 + 5x + 2x + 5$

$2 = 2x^2 + 7x + 5$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2x^2 + 7x + 5 - 2 = 0$

$2x^2 + 7x + 3 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Оба корня ($-0.5$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2.5$).

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = -3$.

г) $\frac{5x - 2}{x} = 3x$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$5x - 2 = 3x \cdot x$

$5x - 2 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 = 1^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$

$x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}$.

257 Найдите значения переменных, при которых:

а) дробь $\frac{2a - 1}{a + 6}$ принимает значение, равное 5; -3; 0;

б) дробь $\frac{c^2 + c - 2}{c + 6}$ принимает значение равное -10; 0; -1.

а) Найдем значения переменной a, при которых дробь $\frac{2a-1}{a+6}$ принимает значения, равные 5; -3; 0.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной дроби: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $a+6 \neq 0$, откуда $a \neq -6$.

1. Приравняем дробь к 5 и решим уравнение:

$\frac{2a-1}{a+6} = 5$

$2a-1 = 5(a+6)$

$2a-1 = 5a+30$

$2a-5a = 30+1$

$-3a = 31$

$a = -\frac{31}{3}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

2. Приравняем дробь к -3 и решим уравнение:

$\frac{2a-1}{a+6} = -3$

$2a-1 = -3(a+6)$

$2a-1 = -3a-18$

$2a+3a = -18+1$

$5a = -17$

$a = -\frac{17}{5}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

3. Приравняем дробь к 0:

$\frac{2a-1}{a+6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2a-1 = 0$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: дробь принимает значение 5 при $a = -\frac{31}{3}$; значение -3 при $a = -\frac{17}{5}$; значение 0 при $a = \frac{1}{2}$.

б) Найдем значения переменной c, при которых дробь $\frac{c^2+c-2}{c+6}$ принимает значения, равные -10; 0; -1.

ОДЗ для данной дроби: $c+6 \neq 0$, откуда $c \neq -6$.

1. Приравняем дробь к -10 и решим уравнение:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = -10$

$c^2+c-2 = -10(c+6)$

$c^2+c-2 = -10c-60$

$c^2+11c+58 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 58 = 121 - 232 = -111$.

Поскольку $D < 0$, у данного уравнения нет действительных корней.

2. Приравняем дробь к 0:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = 0$

Числитель должен быть равен нулю: $c^2+c-2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корни уравнения: $c_1 = 1$, $c_2 = -2$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3. Приравняем дробь к -1 и решим уравнение:

$\frac{c^2+c-2}{c+6} = -1$

$c^2+c-2 = -1(c+6)$

$c^2+c-2 = -c-6$

$c^2+2c+4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D < 0$, у данного уравнения нет действительных корней.

Ответ: дробь принимает значение 0 при $c=1$ и $c=-2$; не существует действительных значений $c$, при которых дробь принимает значения -10 или -1.

Решите уравнение (№ 258-261):

258 a) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$

а) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Знаменатель в правой части $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, что дает те же ограничения: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2-1}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$(x+2)(x-1) + (x+3)(x+1) = 4$

Раскроем скобки:

$(x^2 - x + 2x - 2) + (x^2 + x + 3x + 3) = 4$

$(x^2 + x - 2) + (x^2 + 4x + 3) = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5x + 1 = 4$

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Оба корня ($ \frac{1}{2} $ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $-3; \frac{1}{2}$.

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Таким образом, $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(4-x)(x-2) + (x-1)(x+2) = x^2$

Раскроем скобки:

$(4x - 8 - x^2 + 2x) + (x^2 + 2x - x - 2) = x^2$

$(-x^2 + 6x - 8) + (x^2 + x - 2) = x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$7x - 10 = x^2$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq \pm 2$). Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$

Преобразуем знаменатели для нахождения общего:

$3-x = -(x-3)$

$4x^2-36 = 4(x^2-9) = 4(x-3)(x+3)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{-(x-3)} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

$\frac{2x}{x+3} + \frac{x}{x-3} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Таким образом, $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $4(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2x \cdot 4(x-3) + x \cdot 4(x+3) = 9$

$8x(x-3) + 4x(x+3) = 9$

Раскроем скобки:

$8x^2 - 24x + 4x^2 + 12x = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 - 12x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$4x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

Оба корня ($1.5$ и $-0.5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: $-0.5; 1.5$.

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$

Преобразуем знаменатели:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$2-x = -(x-2)$

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x-2} = \frac{2x}{x+2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Таким образом, $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$5 - x(x+2) = 2x(x-2)$

Раскроем скобки:

$5 - x^2 - 2x = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - 4x + x^2 + 2x - 5 = 0$

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Оба корня ($-1$ и $\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: $-1; \frac{5}{3}$.

Решите уравнение (№ 258-261):

259 а) $\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$

б) $\frac{6}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x - 3}{x^2 - 2x}$

В) $\frac{x - 1}{x} - \frac{1}{x - 6} = \frac{6}{6x - x^2}$

Г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x - 20}{5x - x^2}$

а) Решим уравнение $ \frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x \neq 0 $ и $ x + 2 \neq 0 $. Также знаменатель правой части $ x^2 + 2x = x(x+2) $ не должен быть равен нулю. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

Наименьший общий знаменатель для дробей в уравнении — это $ x(x+2) $. Умножим обе части уравнения на $ x(x+2) $, чтобы избавиться от знаменателей:

$ \frac{6 \cdot x(x+2)}{x} + \frac{(x+3) \cdot x(x+2)}{x+2} = \frac{(4x+6) \cdot x(x+2)}{x(x+2)} $

$ 6(x+2) + x(x+3) = 4x+6 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6x + 12 + x^2 + 3x = 4x+6 $

$ x^2 + 9x + 12 = 4x+6 $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$ x^2 + 9x - 4x + 12 - 6 = 0 $

$ x^2 + 5x + 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней $ x_1 + x_2 = -5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни уравнения: $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = -3 $.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq -2 $). Корень $ x_1 = -2 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

б) Решим уравнение $ \frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x} $.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю: $ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x \neq 0 $. Знаменатель правой части $ x^2-2x = x(x-2) $ также не равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.

Наименьший общий знаменатель равен $ x(x-2) $. Умножим обе части уравнения на $ x(x-2) $:

$ \frac{6 \cdot x(x-2)}{x-2} + \frac{2 \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(x-3) \cdot x(x-2)}{x(x-2)} $

$ 6x + 2(x-2) = x-3 $

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$ 6x + 2x - 4 = x-3 $

$ 8x - 4 = x-3 $

$ 8x - x = 4 - 3 $

$ 7x = 1 $

$ x = \frac{1}{7} $

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 2 $). Корень $ x = \frac{1}{7} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

в) Решим уравнение $ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2} $.

Преобразуем знаменатель в правой части: $ 6x - x^2 = -x(x-6) $. Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{-x(x-6)} $

$ \frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = -\frac{6}{x(x-6)} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $.

Наименьший общий знаменатель равен $ x(x-6) $. Умножим обе части на него:

$ (x-1)(x-6) - 1 \cdot x = -6 $

Раскроем скобки и упростим:

$ x^2 - 6x - x + 6 - x = -6 $

$ x^2 - 8x + 6 = -6 $

$ x^2 - 8x + 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 8 $, произведение $ x_1 \cdot x_2 = 12 $. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 6 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 6 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = 6 $ не входит в ОДЗ, это посторонний корень.

Ответ: 2.

г) Решим уравнение $ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2} $.

Преобразуем знаменатель в правой части: $ 5x - x^2 = -x(x-5) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{-x(x-5)} $

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = -\frac{x-20}{x(x-5)} $

$ \frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{20-x}{x(x-5)} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ x(x-5) $:

$ 4(x-5) + 3x = 20-x $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x - 20 + 3x = 20-x $

$ 7x - 20 = 20-x $

$ 7x + x = 20 + 20 $

$ 8x = 40 $

$ x = 5 $

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0, x \neq 5 $). Корень $ x=5 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: корней нет.

Решите уравнение (№ 258–261):

260 а) $ \frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x + 4} = \frac{3}{x} $

б) $ \frac{4}{x - 2} = \frac{7}{x - 3} + \frac{2}{15} $

в) $ \frac{3}{4 - x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3 - x} $

г) $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x + 2} $

а) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x} $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} - \frac{3}{x} = 0 $
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+4)$:
$ \frac{3x(x+4) - 6x(x-2) - 3(x-2)(x+4)}{x(x-2)(x+4)} = 0 $
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).
$ 3x(x+4) - 6x(x-2) - 3(x-2)(x+4) = 0 $
Разделим обе части на 3 для упрощения:
$ x(x+4) - 2x(x-2) - (x-2)(x+4) = 0 $
Раскроем скобки:
$ x^2+4x - (2x^2-4x) - (x^2+4x-2x-8) = 0 $
$ x^2+4x - 2x^2+4x - (x^2+2x-8) = 0 $
$ x^2+4x - 2x^2+4x - x^2-2x+8 = 0 $
Приведем подобные члены:
$ (1-2-1)x^2 + (4+4-2)x + 8 = 0 $
$ -2x^2 + 6x + 8 = 0 $
Разделим уравнение на -2:
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$ x_1 + x_2 = 3 $
$ x_1 \cdot x_2 = -4 $
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; -1$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Перенесем дроби с переменной в одну часть:
$ \frac{4}{x-2} - \frac{7}{x-3} = \frac{2}{15} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$:
$ \frac{4(x-3) - 7(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{15} $
$ \frac{4x - 12 - 7x + 14}{x^2 - 3x - 2x + 6} = \frac{2}{15} $
$ \frac{-3x + 2}{x^2 - 5x + 6} = \frac{2}{15} $
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 15(-3x + 2) = 2(x^2 - 5x + 6) $
$ -45x + 30 = 2x^2 - 10x + 12 $
Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 2x^2 - 10x + 12 + 45x - 30 = 0 $
$ 2x^2 + 35x - 18 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 \pm 37}{4} $
$ x_1 = \frac{-35+37}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $
$ x_2 = \frac{-35-37}{4} = \frac{-72}{4} = -18 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $0.5; -18$.

в) Исходное уравнение: $ \frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x} $.
ОДЗ: $4-x \neq 0 \implies x \neq 4$; $x \neq 0$; $3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.
Для удобства изменим знаки в знаменателях: $ \frac{3}{-(x-4)} - \frac{5}{x} = \frac{7}{-(x-3)} $.
$ -\frac{3}{x-4} - \frac{5}{x} = -\frac{7}{x-3} $
Умножим обе части на -1:
$ \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{x-3} $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} - \frac{7}{x-3} = 0 $
Общий знаменатель: $x(x-4)(x-3)$.
$ \frac{3x(x-3) + 5(x-4)(x-3) - 7x(x-4)}{x(x-4)(x-3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ 3x(x-3) + 5(x^2-3x-4x+12) - 7x(x-4) = 0 $
$ 3x^2 - 9x + 5(x^2 - 7x + 12) - 7x^2 + 28x = 0 $
$ 3x^2 - 9x + 5x^2 - 35x + 60 - 7x^2 + 28x = 0 $
Приведем подобные члены:
$ (3+5-7)x^2 + (-9-35+28)x + 60 = 0 $
$ x^2 - 16x + 60 = 0 $
Решим по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 16 $
$ x_1 \cdot x_2 = 60 $
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; 10$.

г) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2} $.
ОДЗ: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-1)$:
$ \frac{1(x-1) - 2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{x-1-2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{-x-1}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{-(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
Перенесем все в одну сторону:
$ \frac{x+1}{x+2} + \frac{x+1}{x(x-1)} = 0 $
Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$ (x+1) \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} \right) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень входит в ОДЗ.
Случай 2: $ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} = 0 $
$ \frac{1}{x+2} = - \frac{1}{x(x-1)} $
$ x(x-1) = -(x+2) $
$ x^2 - x = -x - 2 $
$ x^2 = -2 $
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением является корень из первого случая.
Ответ: $-1$.

Решите уравнение (№ 258–261):

а) $ \frac{x}{x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4}{(x - 4)(x - 2)} $

б) $ \frac{x + 2}{x - 5} - \frac{3x}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{2}{x - 2} $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x - 2} $

г) $ \frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 1}{x - 4} $

а) $\frac{x}{x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4}{(x - 4)(x - 2)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x - 4)(x - 2)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$x(x - 2) - x(x - 4) = 4$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x - (x^2 - 4x) = 4$

$x^2 - 2x - x^2 + 4x = 4$

$2x = 4$

$x = 2$

4. Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Корень $x = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, он является посторонним корнем.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{x + 2}{x - 5} - \frac{3x}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{2}{x - 2}$

1. Найдем ОДЗ:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Общий знаменатель дробей равен $(x - 2)(x - 5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x + 2)(x - 2) - 3x = 2(x - 5)$

3. Решим полученное уравнение:

$x^2 - 4 - 3x = 2x - 10$

$x^2 - 3x - 2x - 4 + 10 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ входит в ОДЗ.

Ответ: 3.

в) $\frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x - 2}$

1. Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{(x + 2)(x - 1)}$

2. Найдем ОДЗ:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x + 2)$:

$2(x + 2) + 5(x - 1) = 13$

4. Решим полученное линейное уравнение:

$2x + 4 + 5x - 5 = 13$

$7x - 1 = 13$

$7x = 14$

$x = 2$

5. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 2$ входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

г) $\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 - 3x - 4} = \frac{x - 1}{x - 4}$

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x - 4}$

2. Найдем ОДЗ:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 4) \cup (4, +\infty)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 4)(x + 1)$:

$2x(x - 4) + 6 = (x - 1)(x + 1)$

4. Решим полученное уравнение:

$2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 1$

$2x^2 - x^2 - 8x + 6 + 1 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

5. Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$, входят в ОДЗ.

Ответ: 1; 7.