Страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

241 Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $x$:

a) $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20;$

б) $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 8x - 48.$

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $x$, необходимо приравнять значение функции к нулю, так как на оси $x$ ордината $y$ всегда равна нулю.

Задана функция $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 5x^2) - (4x - 20) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x - 5)$:

$(x - 5)(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2, x_3 = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения: -2, 2 и 5. Ординаты этих точек равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения: $(-2, 0)$, $(2, 0)$, $(5, 0)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(2, 0)$, $(5, 0)$.

б)

Задана функция $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 8x - 48$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-x^3 + 6x^2 + 8x - 48 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на -1:

$x^3 - 6x^2 - 8x + 48 = 0$

Снова применим метод группировки:

$(x^3 - 6x^2) - (8x - 48) = 0$

Вынесем общие множители:

$x^2(x - 6) - 8(x - 6) = 0$

Вынесем за скобку общий множитель $(x - 6)$:

$(x - 6)(x^2 - 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$

2) $x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} \Rightarrow x_{2,3} = \pm2\sqrt{2}$

Абсциссы точек пересечения: $6$, $-2\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$. Ординаты этих точек равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения: $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$, $(6, 0)$.

Ответ: $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$, $(6, 0)$.

242 Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0;$

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0;$

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0;$

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0;$

д) $x^4 + 3x^2 = 0;$

е) $x^4 - 9x^2 = 0.$

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.
Это уравнение решается введением новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Можно также найти корни через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$t_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
$t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$
Оба значения $t$ положительны, поэтому они нам подходят.
Выполним обратную замену:
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$
Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm2$.

Дано биквадратное уравнение $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $4t^2 + 3t - 1 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 5}{8}$
$t_1 = \frac{-3 - 5}{8} = -1$
$t_2 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Используем второй корень $t_2 = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену: $x^2 = \frac{1}{4}$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

Дано биквадратное уравнение $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем уравнение: $2t^2 + 9t + 4 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{-9 - 7}{4} = -4$
$t_2 = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}$
Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$.
Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.
Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности: $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 - 3)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x^2 - 3)^2 = 0$.
Отсюда $x^2 - 3 = 0$, то есть $x^2 = 3$.
$x = \pm\sqrt{3}$.
(Этот же результат можно получить стандартной заменой $t = x^2$, решив уравнение $t^2 - 6t + 9 = 0$, которое дает единственный корень $t = 3$).
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

Дано неполное биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.
2. $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$.

Дано неполное биквадратное уравнение $x^4 - 9x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.
2. $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $-3; 0; 3$.

243 Определите, пересекает ли график функции $y = f(x)$ ось $x$, и если да, то в каких точках. Изобразите схематически график из задания (а).

а) $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9;$

б) $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3;$

в) $f(x) = x^4 - 20x^2 + 100.$

а) f(x) = x⁴ - 10x² + 9

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось $Ox$, необходимо найти корни уравнения $f(x) = 0$.

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Произведем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $t = 1$:
$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$

2. При $t = 9$:
$x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$

Таким образом, график функции пересекает ось $Ox$ в четырех точках.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Изобразим схематически график из задания (а).

Для построения схематического графика найдем и отметим ключевые точки и свойства функции. Точки пересечения с осью Ox: как найдено ранее, это $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Пересечение с осью Oy: $f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$, следовательно, точка пересечения $(0, 9)$. Симметрия: так как $f(-x) = (-x)^4 - 10(-x)^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9 = f(x)$, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси $Oy$. Точки экстремума: найдем производную $f'(x) = 4x^3 - 20x = 4x(x^2 - 5)$. Критические точки (где $f'(x)=0$) — это $x=0$ и $x=\pm\sqrt{5}$. В точке $x=0$ находится локальный максимум $(0, 9)$. В точках $x=\pm\sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$) находятся локальные минимумы. Значение функции в этих точках: $f(\pm\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$. Точки минимума: $(-\sqrt{5}, -16)$ и $(\sqrt{5}, -16)$. Поведение на бесконечности: при $x \to \pm\infty$, старший член $x^4$ определяет поведение, поэтому $f(x) \to +\infty$.

Описание схемы графика: График имеет форму, напоминающую букву 'W'. Он приходит из $+\infty$, опускается, пересекая ось $Ox$ в точке $x=-3$, достигает минимума в точке $(-\sqrt{5}, -16)$, затем поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $x=-1$ и достигает локального максимума на оси $Oy$ в точке $(0, 9)$. Далее, симметрично, график опускается, пересекает ось $Ox$ в $x=1$, достигает второго минимума в $(\sqrt{5}, -16)$, пересекает ось $Ox$ в $x=3$ и уходит вверх в $+\infty$.

б) f(x) = x⁴ + 4x² + 3

Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

$x^4 + 4x^2 + 3 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1+t_2 = -4$ и $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Альтернативно, можно заметить, что для любого действительного $x$, слагаемые $x^4 \ge 0$ и $4x^2 \ge 0$. Тогда значение функции $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Минимальное значение функции равно 3 (при $x=0$), поэтому она никогда не может быть равна нулю.

Ответ: График не пересекает ось $Ox$.

в) f(x) = x⁴ - 20x² + 100

Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x^2$ и $b = 10$.

$(x^2 - 10)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$x^2 - 10 = 0$

$x^2 = 10$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{10}$

Уравнение имеет два действительных корня. В этих точках график касается оси $Ox$, так как они являются корнями четной кратности (кратность 2 для $x^2=10$). Касание является частным случаем пересечения.

Ответ: График пересекает (касается) ось $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$.

244 Разложите на множители трёхчлен:

a) $x^4 - 5x^2 + 4;$

б) $x^4 - 4x^2 - 45.$

а) $x^4 - 5x^2 + 4$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$y^2 - 5y + 4$

Мы получили квадратный трёхчлен относительно переменной $y$. Разложим его на множители, найдя корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$.

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь можно разложить квадратный трёхчлен по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 5y + 4 = 1 \cdot (y - 1)(y - 4) = (y - 1)(y - 4)$

Вернёмся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к каждому из них:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

б) $x^4 - 4x^2 - 45$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену переменной: $y = x^2$. Тогда $x^4 = y^2$.

Исходное выражение примет вид:

$y^2 - 4y - 45$

Найдём корни квадратного уравнения $y^2 - 4y - 45 = 0$, чтобы разложить трёхчлен на множители.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = 9$

Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 4y - 45 = (y - (-5))(y - 9) = (y + 5)(y - 9)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 + 5)(x^2 - 9)$

Второй множитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$

Первый множитель $x^2 + 5$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2 + 5 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, итоговое разложение на множители имеет вид:

$(x^2 + 5)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x^2 + 5)(x - 3)(x + 3)$

245 Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245–247):

a) $(2x - 5)^2 + (2x - 5) - 6 = 0;$

б) $(2x + 3)^2 + 4x + 7 = 0.$

Совет. Введите замену: a) $2x - 5 = y;$ б) $2x + 3 = y.$

а) $(2x - 5)^2 + (2x - 5) - 6 = 0$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = 2x - 5$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения для $y$ равны:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Подставим $y_1 = -3$:

$2x - 5 = -3$

$2x = -3 + 5$

$2x = 2$

$x_1 = 1$

2. Подставим $y_2 = 2$:

$2x - 5 = 2$

$2x = 2 + 5$

$2x = 7$

$x_2 = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: 1; 3,5.

б) $(2x + 3)^2 + 4x + 7 = 0$

Введем замену, как предложено в совете к задаче: $y = 2x + 3$.

Первый член уравнения $(2x + 3)^2$ становится равен $y^2$.

Теперь необходимо выразить оставшуюся часть уравнения, $4x + 7$, через новую переменную $y$.

Из выражения для замены $y = 2x + 3$ выразим $2x$: $2x = y - 3$.

Тогда $4x$ можно представить как $4x = 2 \cdot (2x) = 2(y - 3) = 2y - 6$.

Подставим это в выражение $4x + 7$:

$4x + 7 = (2y - 6) + 7 = 2y + 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$y^2 + (2y + 1) = 0$

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является формулой квадрата суммы:

$(y + 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень:

$y + 1 = 0$

$y = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$2x + 3 = -1$

$2x = -1 - 3$

$2x = -4$

$x = -2$

Ответ: -2.

Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245-247):

246 a) $(x^2 + 5)^2 - 11(x^2 + 5) + 28 = 0;$

б) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0.$

а) $(x^2 + 5)^2 - 11(x^2 + 5) + 28 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 + 5)$. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2 + 5$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 11t + 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 11$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 28$. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найти $x$.

Случай 1: $t = 4$.

$x^2 + 5 = 4$

$x^2 = 4 - 5$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $t = 7$.

$x^2 + 5 = 7$

$x^2 = 7 - 5$

$x^2 = 2$

Из этого уравнения находим два корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

б) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$

Это уравнение также решается с помощью введения новой переменной. Заметим, что выражение $(2x^2 + 3)$ повторяется.

Сделаем замену: пусть $y = 2x^2 + 3$. Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета:

Сумма корней $y_1 + y_2 = 12$.

Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 11$.

Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

Случай 1: $y = 1$.

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = 1 - 3$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $y = 11$.

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 11 - 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245–247):

247 а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0;$

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0;$

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12;$

г) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5.$

а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0$

Введем новую переменную (сделаем замену). Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-24$. Легко подобрать корни:

$t_1 = -6$

$t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = -6$:

$x^2 + 3x = -6$

$x^2 + 3x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

2. При $t = 4$:

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни этого уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Ответ: $-4; 1$.

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 + x + 1$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни:

$t_1 = -3$

$t_2 = 1$

Выполним обратную замену.

1. При $t = -3$:

$x^2 + x + 1 = -3$

$x^2 + x + 4 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Поскольку $D < 0$, действительных корней нет.

2. При $t = 1$:

$x^2 + x + 1 = 1$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 0$.

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид:

$t(t - 8) = -12$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = 12$. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 6$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. При $t = 2$:

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

2. При $t = 6$:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_3 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_4 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Ответ: $-3; -2; 1; 2$.

г) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 - 4x$. Уравнение примет вид:

$(t + 2)(t - 2) = 5$

Используем формулу разности квадратов:

$t^2 - 4 = 5$

$t^2 = 9$

Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = 3$:

$x^2 - 4x = 3$

$x^2 - 4x - 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

2. При $t = -3$:

$x^2 - 4x = -3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни:

$x_3 = 1$

$x_4 = 3$

Ответ: $1; 3; 2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

248 Укажите замену, которая приводит уравнение к квадратному (предложите разные варианты):

a) $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0;$

б) $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28;$

в) $(x^2 + x + 1)(2x^2 + 2x + 3) = 3(1 - x - x^2);$

г) $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0.$

Решите одно или два уравнения на ваш выбор.

Ниже приведены возможные замены для каждого уравнения, которые приводят его к квадратному виду, а также подробное решение уравнений из пунктов а) и г).

Указание замен

а) В уравнении $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0$ можно заметить повторяющееся выражение $x^2 + 2x$. Если сделать замену $t = x^2 + 2x$, уравнение примет вид $(t-1)^2 + t - 7 = 0$, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых превращается в квадратное уравнение $t^2 - t - 6 = 0$.

Другой удобный вариант — замена $t = x^2 + 2x - 1$. В этом случае $x^2 + 2x = t + 1$, и исходное уравнение становится $t^2 + (t+1) - 7 = 0$, или $t^2 + t - 6 = 0$, что также является квадратным уравнением.

Ответ: Возможные замены: $t = x^2 + 2x$ или $t = x^2 + 2x - 1$.

б) В уравнении $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28$ общая часть в скобках — это $x^2 - 5x$. Сделаем замену $t = x^2 - 5x$. Уравнение преобразуется к виду $(t+2)(t-1) = 28$, что после раскрытия скобок даёт квадратное уравнение $t^2 + t - 30 = 0$.

Также можно ввести замену на целую скобку, например, $t = x^2 - 5x - 1$. Тогда $x^2 - 5x + 2 = t + 3$, и уравнение примет вид $(t+3)t = 28$ или $t^2 + 3t - 28 = 0$.

Ответ: Возможные замены: $t = x^2 - 5x$ или $t = x^2 - 5x - 1$.

в) Уравнение $(x^2 + x + 1)(2x^2 + 2x + 3) = 3(1 - x - x^2)$ сначала нужно немного преобразовать. Вынесем 2 за скобки во втором множителе слева и -1 в правой части: $(x^2 + x + 1)(2(x^2 + x) + 3) = -3(x^2 + x - 1)$. Теперь видна повторяющаяся часть $x^2 + x$.

Введём замену $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид $(t+1)(2t+3) = -3(t-1)$, что после преобразований ($2t^2 + 5t + 3 = -3t + 3$) сводится к неполному квадратному уравнению $2t^2 + 8t = 0$.

Ответ: Возможная замена: $t = x^2 + x$.

г) В уравнении $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0$ нужно сначала перемножить выражения в скобках.

$(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 3x + 2 = 6x^2 - 7x + 2$.

$(2x + 3)(3x - 8) = 6x^2 - 16x + 9x - 24 = 6x^2 - 7x - 24$.

Теперь уравнение имеет вид $(6x^2 - 7x + 2)(6x^2 - 7x - 24) + 25 = 0$. Общая часть $6x^2 - 7x$ позволяет сделать замену $t = 6x^2 - 7x$. Уравнение превращается в $(t+2)(t-24) + 25 = 0$, которое после раскрытия скобок становится квадратным: $t^2 - 22t - 23 = 0$.

Ответ: Возможная замена: $t = 6x^2 - 7x$ (после предварительного перемножения скобок).

Решение уравнений

а) $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 + 2x - 1$. Тогда $x^2 + 2x = t + 1$. Подставим в уравнение:

$t^2 + (t + 1) - 7 = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$:

$x^2 + 2x - 1 = 2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

2) Если $t = -3$:

$x^2 + 2x - 1 = -3$

$x^2 + 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -3$.

г) $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0$

Раскроем скобки парами:

$(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 7x + 2$

$(2x + 3)(3x - 8) = 6x^2 - 7x - 24$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(6x^2 - 7x + 2)(6x^2 - 7x - 24) + 25 = 0$

Сделаем замену $t = 6x^2 - 7x$. Уравнение примет вид:

$(t + 2)(t - 24) + 25 = 0$

$t^2 - 24t + 2t - 48 + 25 = 0$

$t^2 - 22t - 23 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ через дискриминант:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 = 24^2$

$t = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{22 \pm 24}{2}$

$t_1 = \frac{22 + 24}{2} = 23$

$t_2 = \frac{22 - 24}{2} = -1$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 23$:

$6x^2 - 7x = 23$

$6x^2 - 7x - 23 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-23) = 49 + 552 = 601$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{601}}{12}$

2) Если $t = -1$:

$6x^2 - 7x = -1$

$6x^2 - 7x + 1 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{7 \pm 5}{12}$

$x_3 = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$x_4 = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; \frac{1}{6}; \frac{7 \pm \sqrt{601}}{12}$.

249ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Квадратное уравнение, в которое превращается после замены переменной биквадратное уравнение, называют резольвентным (т.е. разрешающим).

Проанализируйте результаты, полученные при решении уравнений из № 241, и ответьте на вопросы:

- Какими должны быть корни резольвентного уравнения, чтобы биквадратное уравнение имело 4 корня? 2 корня?

- В каких случаях биквадратное уравнение не будет иметь корней?

- При каком условии биквадратное уравнение будет иметь 1 корень? 3 корня?

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее: 4 корня, 2 корня, не имеющее корней.

1) Какими должны быть корни резольвентного уравнения, чтобы биквадратное уравнение имело 4 корня? 2 корня?
Биквадратное уравнение имеет вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$. После замены переменной $t = x^2$ (где $t \ge 0$), мы получаем резольвентное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$. Пусть его корни – $t_1$ и $t_2$. Чтобы найти корни исходного уравнения, мы решаем уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$.

Для 4 корней:
Чтобы получить четыре различных корня для $x$, каждое из уравнений $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ должно давать по два различных корня. Это возможно только если $t_1$ и $t_2$ – два различных положительных числа.
Если $t_1 > 0$, то $x^2 = t_1$ дает два корня: $x = \pm\sqrt{t_1}$.
Если $t_2 > 0$ и $t_1 \ne t_2$, то $x^2 = t_2$ дает еще два корня: $x = \pm\sqrt{t_2}$.
Таким образом, биквадратное уравнение имеет 4 корня, если резольвентное уравнение имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$).

Для 2 корней:
Чтобы получить ровно два корня для $x$, возможны два случая:
1. Резольвентное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень ($t_1 > 0$, $t_2 < 0$). Тогда уравнение $x^2 = t_1$ дает два корня ($x = \pm\sqrt{t_1}$), а уравнение $x^2 = t_2$ не имеет действительных корней.
2. Резольвентное уравнение имеет один-единственный положительный корень (например, когда дискриминант резольвенты $D_t = 0$ и корень $t > 0$, или один корень равен нулю, а второй отрицательный - но это случай для 1 корня). Если резольвента имеет один кратный положительный корень $t_1=t_2>0$, то уравнение $x^2 = t_1$ дает два корня $x = \pm\sqrt{t_1}$.
Обобщая, биквадратное уравнение будет иметь 2 корня, если резольвентное уравнение имеет ровно один положительный корень (второй корень может быть отрицательным или совпадать с первым).
Ответ: Биквадратное уравнение имеет 4 корня, если резольвентное уравнение имеет два различных положительных корня. Биквадратное уравнение имеет 2 корня, если резольвентное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень, либо один кратный положительный корень.

- В каких случаях биквадратное уравнение не будет иметь корней?
Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ не имеют действительных корней. Это происходит в следующих случаях:
1. Резольвентное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ само не имеет действительных корней (его дискриминант $D_t < 0$). В этом случае нет значений $t$, а значит, и нет значений $x$.
2. Резольвентное уравнение имеет действительные корни, но все они отрицательные ($t_1 < 0$ и $t_2 \le 0$). В этом случае уравнения $x^2=t_1$ и $x^2=t_2$ не имеют действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: Биквадратное уравнение не будет иметь корней, если резольвентное уравнение не имеет действительных корней или все его действительные корни отрицательны.

- При каком условии биквадратное уравнение будет иметь 1 корень? 3 корня?
Для 1 корня:
Единственный корень биквадратное уравнение может иметь только в том случае, если это $x = 0$. Уравнение $x^2 = t$ дает один корень $x=0$ только при $t=0$. Чтобы других корней не было, второй корень резольвентного уравнения, $t_2$, должен быть таким, чтобы уравнение $x^2 = t_2$ не давало новых корней. Это возможно, если $t_2 < 0$ или $t_2 = t_1 = 0$.
Таким образом, для одного корня необходимо, чтобы один корень резольвенты был равен нулю, а второй был отрицательным или также равен нулю.
Для 3 корней:
Три корня получаются, если один из корней равен $x=0$, а два других — противоположные числа, например, $\pm a$. Корень $x=0$ получается из $x^2=0$, то есть один из корней резольвенты должен быть $t_1=0$. Два других корня, $\pm\sqrt{t_2}$, получатся, если второй корень резольвенты $t_2$ будет положительным.
Таким образом, для трех корней необходимо, чтобы один корень резольвенты был равен нулю, а второй был положительным ($t_1 = 0, t_2 > 0$).
Ответ: Биквадратное уравнение имеет 1 корень, если один корень резольвентного уравнения равен 0, а другой — отрицательный или равен 0. Биквадратное уравнение имеет 3 корня, если один корень резольвентного уравнения равен 0, а другой — положительный.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее: 4 корня, 2 корня, не имеющее корней.
Будем составлять уравнения, исходя из корней резольвенты $at^2 + bt + c = 0$, которую можно записать как $t^2 - (t_1+t_2)t + t_1t_2 = 0$.

Уравнение с 4 корнями:
Нужно, чтобы резольвента имела два различных положительных корня. Возьмем $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Резольвента: $(t-1)(t-9) = 0 \Rightarrow t^2 - 10t + 9 = 0$.
Заменяя $t$ на $x^2$, получаем биквадратное уравнение: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
(Корни: $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$; $x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$. Всего 4 корня).

Уравнение с 2 корнями:
Нужно, чтобы резольвента имела один положительный и один отрицательный корень. Возьмем $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Резольвента: $(t-4)(t+1) = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$.
Биквадратное уравнение: $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
(Корни: $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$; $x^2=-1 \Rightarrow$ нет корней. Всего 2 корня).

Уравнение, не имеющее корней:
Нужно, чтобы оба корня резольвенты были отрицательными. Возьмем $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.
Резольвента: $(t+2)(t+3) = 0 \Rightarrow t^2 + 5t + 6 = 0$.
Биквадратное уравнение: $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.
(Корни: $x^2=-2$ и $x^2=-3$ не имеют действительных решений).

Ответ:
Пример уравнения с 4 корнями: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Пример уравнения с 2 корнями: $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
Пример уравнения, не имеющего корней: $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.