Номер 249, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 249, страница 95.

249ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Квадратное уравнение, в которое превращается после замены переменной биквадратное уравнение, называют резольвентным (т.е. разрешающим).

Проанализируйте результаты, полученные при решении уравнений из № 241, и ответьте на вопросы:

- Какими должны быть корни резольвентного уравнения, чтобы биквадратное уравнение имело 4 корня? 2 корня?

- В каких случаях биквадратное уравнение не будет иметь корней?

- При каком условии биквадратное уравнение будет иметь 1 корень? 3 корня?

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее: 4 корня, 2 корня, не имеющее корней.

1) Какими должны быть корни резольвентного уравнения, чтобы биквадратное уравнение имело 4 корня? 2 корня?
Биквадратное уравнение имеет вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$. После замены переменной $t = x^2$ (где $t \ge 0$), мы получаем резольвентное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$. Пусть его корни – $t_1$ и $t_2$. Чтобы найти корни исходного уравнения, мы решаем уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$.

Для 4 корней:
Чтобы получить четыре различных корня для $x$, каждое из уравнений $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ должно давать по два различных корня. Это возможно только если $t_1$ и $t_2$ – два различных положительных числа.
Если $t_1 > 0$, то $x^2 = t_1$ дает два корня: $x = \pm\sqrt{t_1}$.
Если $t_2 > 0$ и $t_1 \ne t_2$, то $x^2 = t_2$ дает еще два корня: $x = \pm\sqrt{t_2}$.
Таким образом, биквадратное уравнение имеет 4 корня, если резольвентное уравнение имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$).

Для 2 корней:
Чтобы получить ровно два корня для $x$, возможны два случая:
1. Резольвентное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень ($t_1 > 0$, $t_2 < 0$). Тогда уравнение $x^2 = t_1$ дает два корня ($x = \pm\sqrt{t_1}$), а уравнение $x^2 = t_2$ не имеет действительных корней.
2. Резольвентное уравнение имеет один-единственный положительный корень (например, когда дискриминант резольвенты $D_t = 0$ и корень $t > 0$, или один корень равен нулю, а второй отрицательный - но это случай для 1 корня). Если резольвента имеет один кратный положительный корень $t_1=t_2>0$, то уравнение $x^2 = t_1$ дает два корня $x = \pm\sqrt{t_1}$.
Обобщая, биквадратное уравнение будет иметь 2 корня, если резольвентное уравнение имеет ровно один положительный корень (второй корень может быть отрицательным или совпадать с первым).
Ответ: Биквадратное уравнение имеет 4 корня, если резольвентное уравнение имеет два различных положительных корня. Биквадратное уравнение имеет 2 корня, если резольвентное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень, либо один кратный положительный корень.

- В каких случаях биквадратное уравнение не будет иметь корней?
Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ не имеют действительных корней. Это происходит в следующих случаях:
1. Резольвентное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ само не имеет действительных корней (его дискриминант $D_t < 0$). В этом случае нет значений $t$, а значит, и нет значений $x$.
2. Резольвентное уравнение имеет действительные корни, но все они отрицательные ($t_1 < 0$ и $t_2 \le 0$). В этом случае уравнения $x^2=t_1$ и $x^2=t_2$ не имеют действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: Биквадратное уравнение не будет иметь корней, если резольвентное уравнение не имеет действительных корней или все его действительные корни отрицательны.

- При каком условии биквадратное уравнение будет иметь 1 корень? 3 корня?
Для 1 корня:
Единственный корень биквадратное уравнение может иметь только в том случае, если это $x = 0$. Уравнение $x^2 = t$ дает один корень $x=0$ только при $t=0$. Чтобы других корней не было, второй корень резольвентного уравнения, $t_2$, должен быть таким, чтобы уравнение $x^2 = t_2$ не давало новых корней. Это возможно, если $t_2 < 0$ или $t_2 = t_1 = 0$.
Таким образом, для одного корня необходимо, чтобы один корень резольвенты был равен нулю, а второй был отрицательным или также равен нулю.
Для 3 корней:
Три корня получаются, если один из корней равен $x=0$, а два других — противоположные числа, например, $\pm a$. Корень $x=0$ получается из $x^2=0$, то есть один из корней резольвенты должен быть $t_1=0$. Два других корня, $\pm\sqrt{t_2}$, получатся, если второй корень резольвенты $t_2$ будет положительным.
Таким образом, для трех корней необходимо, чтобы один корень резольвенты был равен нулю, а второй был положительным ($t_1 = 0, t_2 > 0$).
Ответ: Биквадратное уравнение имеет 1 корень, если один корень резольвентного уравнения равен 0, а другой — отрицательный или равен 0. Биквадратное уравнение имеет 3 корня, если один корень резольвентного уравнения равен 0, а другой — положительный.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее: 4 корня, 2 корня, не имеющее корней.
Будем составлять уравнения, исходя из корней резольвенты $at^2 + bt + c = 0$, которую можно записать как $t^2 - (t_1+t_2)t + t_1t_2 = 0$.

Уравнение с 4 корнями:
Нужно, чтобы резольвента имела два различных положительных корня. Возьмем $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Резольвента: $(t-1)(t-9) = 0 \Rightarrow t^2 - 10t + 9 = 0$.
Заменяя $t$ на $x^2$, получаем биквадратное уравнение: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
(Корни: $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$; $x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$. Всего 4 корня).

Уравнение с 2 корнями:
Нужно, чтобы резольвента имела один положительный и один отрицательный корень. Возьмем $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Резольвента: $(t-4)(t+1) = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$.
Биквадратное уравнение: $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
(Корни: $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$; $x^2=-1 \Rightarrow$ нет корней. Всего 2 корня).

Уравнение, не имеющее корней:
Нужно, чтобы оба корня резольвенты были отрицательными. Возьмем $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.
Резольвента: $(t+2)(t+3) = 0 \Rightarrow t^2 + 5t + 6 = 0$.
Биквадратное уравнение: $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.
(Корни: $x^2=-2$ и $x^2=-3$ не имеют действительных решений).

Ответ:
Пример уравнения с 4 корнями: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Пример уравнения с 2 корнями: $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
Пример уравнения, не имеющего корней: $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.