Номер 250, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 250, страница 98.

Решите уравнение (№ 250-253):

a) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6;$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1;$

в) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2 - x}{3x};$

г) $\frac{z - 2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3};$

д) $\frac{y - 1}{y} + \frac{2}{y^2} = 2;$

е) $\frac{8}{t^2} - \frac{2 - t}{t} = 2.$

а) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели дробей не равны нулю: $x \neq 0$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:

$\frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{7}{4x} = 6$

$\frac{16 - 7}{4x} = 6$

$\frac{9}{4x} = 6$

Умножим обе части уравнения на $4x$ (так как $x \neq 0$):

$9 = 6 \cdot 4x$

$9 = 24x$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{24}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{3}{8}$

Полученное значение $x = \frac{3}{8}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{3}{8}$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$

ОДЗ: $y \neq 0$.

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{5}{2y} - \frac{3}{y} = 1 - \frac{1}{2}$

Упростим правую часть и приведем к общему знаменателю $2y$ дроби в левой части:

$\frac{5}{2y} - \frac{3 \cdot 2}{2y} = \frac{1}{2}$

$\frac{5 - 6}{2y} = \frac{1}{2}$

$\frac{-1}{2y} = \frac{1}{2}$

Из пропорции следует, что $2y \cdot 1 = -1 \cdot 2$:

$2y = -2$

$y = -1$

Значение $y = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -1$

в) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель для всех дробей: НОК(15x, 5, 3x) = $15x$. Умножим обе части уравнения на $15x$:

$15x \cdot \left(\frac{4}{15x} - \frac{1}{5}\right) = 15x \cdot \frac{2-x}{3x}$

$4 - 3x = 5(2-x)$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$4 - 3x = 10 - 5x$

$5x - 3x = 10 - 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 3$

г) $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3}$

ОДЗ: $z \neq 0$.

Общий знаменатель для всех дробей — $3z$. Умножим обе части уравнения на $3z$:

$3z \cdot \frac{z-2}{z} = 3z \cdot \left(\frac{4}{3z} - \frac{z}{3}\right)$

$3(z-2) = 4 - z \cdot z$

$3z - 6 = 4 - z^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$z^2 + 3z - 6 - 4 = 0$

$z^2 + 3z - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -3, а произведение равно -10. Корнями являются числа -5 и 2.

$z_1 = -5$, $z_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = -5, z_2 = 2$

д) $\frac{y-1}{y} + \frac{2}{y^2} = 2$

ОДЗ: $y \neq 0$.

Общий знаменатель — $y^2$. Умножим обе части уравнения на $y^2$:

$y^2 \cdot \left(\frac{y-1}{y} + \frac{2}{y^2}\right) = 2 \cdot y^2$

$y(y-1) + 2 = 2y^2$

$y^2 - y + 2 = 2y^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0 = 2y^2 - y^2 + y - 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корнями являются числа 1 и -2.

$y_1 = 1$, $y_2 = -2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -2$

е) $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2$

ОДЗ: $t \neq 0$.

Общий знаменатель — $t^2$. Умножим обе части уравнения на $t^2$:

$t^2 \cdot \left(\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t}\right) = 2 \cdot t^2$

$8 - t(2-t) = 2t^2$

$8 - 2t + t^2 = 2t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0 = 2t^2 - t^2 + 2t - 8$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Корнями являются числа 2 и -4.

$t_1 = 2$, $t_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $t_1 = 2, t_2 = -4$