Номер 251, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 251, страница 98.

Решите уравнение (№ 250-253):

251 a) $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5; $

б) $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1; $

в) $ \frac{3z-1}{4z+12} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}; $

г) $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}; $

д) $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}; $

е) $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5 $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ y+1 \neq 0 $, откуда $ y \neq -1 $.

Общий знаменатель для дробей в левой части уравнения — $ 2(y+1) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2 \cdot 2}{2(y+1)} - \frac{3}{2(y+1)} = 5 $

$ \frac{4-3}{2(y+1)} = 5 $

$ \frac{1}{2(y+1)} = 5 $

Умножим обе части уравнения на $ 2(y+1) $, учитывая ОДЗ.

$ 1 = 5 \cdot 2(y+1) $

$ 1 = 10(y+1) $

$ 1 = 10y + 10 $

$ 10y = 1 - 10 $

$ 10y = -9 $

$ y = -0.9 $

Полученное значение $ y = -0.9 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ y \neq -1 $).

Ответ: $ y = -0.9 $

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1 $

ОДЗ: $ z-2 \neq 0 $, откуда $ z \neq 2 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(z-2) $.

$ 3(z-2) \cdot \frac{1}{3(z-2)} = 3(z-2) \cdot \frac{3}{z-2} + 3(z-2) \cdot 1 $

$ 1 = 3 \cdot 3 + 3(z-2) $

$ 1 = 9 + 3z - 6 $

$ 1 = 3 + 3z $

$ 3z = 1 - 3 $

$ 3z = -2 $

$ z = -\frac{2}{3} $

Полученное значение $ z = -\frac{2}{3} $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ z \neq 2 $).

Ответ: $ z = -\frac{2}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3z-1}{4z+12} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4} $

Разложим знаменатель $ 4z+12 $ на множители: $ 4(z+3) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{3z-1}{4(z+3)} - \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4} $

ОДЗ: $ z+3 \neq 0 $, откуда $ z \neq -3 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 4(z+3) $.

$ (3z-1) - 4(z+2) = 1(z+3) $

$ 3z - 1 - 4z - 8 = z + 3 $

$ -z - 9 = z + 3 $

$ -9 - 3 = z + z $

$ -12 = 2z $

$ z = -6 $

Полученное значение $ z = -6 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ z \neq -3 $).

Ответ: $ z = -6 $

г)

Исходное уравнение: $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3} $

Разложим знаменатель $ 3x-6 $ на множители: $ 3(x-2) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{x+7}{3(x-2)} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(x-2) $.

$ (x+7) - 3(2x-3) = 1(x-2) $

$ x + 7 - 6x + 9 = x - 2 $

$ -5x + 16 = x - 2 $

$ 16 + 2 = x + 5x $

$ 18 = 6x $

$ x = 3 $

Полученное значение $ x=3 $ удовлетворяет условию ОДЗ ($ x \neq 2 $).

Ответ: $ x = 3 $

д)

Исходное уравнение: $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y} $

Разложим знаменатель $ y^2-y $ на множители: $ y(y-1) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y(y-1)} $

ОДЗ: $ y-1 \neq 0 $ и $ y \neq 0 $, откуда $ y \neq 1 $ и $ y \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ y(y-1) $.

$ y(y+1) = 2 $

$ y^2 + y = 2 $

$ y^2 + y - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: $ y_1 + y_2 = -1 $, $ y_1 \cdot y_2 = -2 $. Корни: $ y_1 = -2 $, $ y_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ y_1 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \neq 1 $ и $ -2 \neq 0 $).
$ y_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ y=1 $ знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ y = -2 $

е)

Исходное уравнение: $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x} $

Разложим знаменатель $ x^2-x $ на множители: $ x(x-1) $. Уравнение примет вид:

$ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x(x-1)} $

ОДЗ: $ x-1 \neq 0 $ и $ x \neq 0 $, откуда $ x \neq 1 $ и $ x \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ x(x-1) $.

$ 1 \cdot x(x-1) + 2 \cdot x = 2 $

$ x^2 - x + 2x = 2 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

Это такое же квадратное уравнение, как в пункте д). Корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \neq 1 $ и $ -2 \neq 0 $).
$ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ x=1 $ знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ x = -2 $