Номер 248, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 248, страница 95.

248 Укажите замену, которая приводит уравнение к квадратному (предложите разные варианты):

a) $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0;$

б) $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28;$

в) $(x^2 + x + 1)(2x^2 + 2x + 3) = 3(1 - x - x^2);$

г) $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0.$

Решите одно или два уравнения на ваш выбор.

Ниже приведены возможные замены для каждого уравнения, которые приводят его к квадратному виду, а также подробное решение уравнений из пунктов а) и г).

Указание замен

а) В уравнении $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0$ можно заметить повторяющееся выражение $x^2 + 2x$. Если сделать замену $t = x^2 + 2x$, уравнение примет вид $(t-1)^2 + t - 7 = 0$, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых превращается в квадратное уравнение $t^2 - t - 6 = 0$.

Другой удобный вариант — замена $t = x^2 + 2x - 1$. В этом случае $x^2 + 2x = t + 1$, и исходное уравнение становится $t^2 + (t+1) - 7 = 0$, или $t^2 + t - 6 = 0$, что также является квадратным уравнением.

Ответ: Возможные замены: $t = x^2 + 2x$ или $t = x^2 + 2x - 1$.

б) В уравнении $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28$ общая часть в скобках — это $x^2 - 5x$. Сделаем замену $t = x^2 - 5x$. Уравнение преобразуется к виду $(t+2)(t-1) = 28$, что после раскрытия скобок даёт квадратное уравнение $t^2 + t - 30 = 0$.

Также можно ввести замену на целую скобку, например, $t = x^2 - 5x - 1$. Тогда $x^2 - 5x + 2 = t + 3$, и уравнение примет вид $(t+3)t = 28$ или $t^2 + 3t - 28 = 0$.

Ответ: Возможные замены: $t = x^2 - 5x$ или $t = x^2 - 5x - 1$.

в) Уравнение $(x^2 + x + 1)(2x^2 + 2x + 3) = 3(1 - x - x^2)$ сначала нужно немного преобразовать. Вынесем 2 за скобки во втором множителе слева и -1 в правой части: $(x^2 + x + 1)(2(x^2 + x) + 3) = -3(x^2 + x - 1)$. Теперь видна повторяющаяся часть $x^2 + x$.

Введём замену $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид $(t+1)(2t+3) = -3(t-1)$, что после преобразований ($2t^2 + 5t + 3 = -3t + 3$) сводится к неполному квадратному уравнению $2t^2 + 8t = 0$.

Ответ: Возможная замена: $t = x^2 + x$.

г) В уравнении $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0$ нужно сначала перемножить выражения в скобках.

$(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 3x + 2 = 6x^2 - 7x + 2$.

$(2x + 3)(3x - 8) = 6x^2 - 16x + 9x - 24 = 6x^2 - 7x - 24$.

Теперь уравнение имеет вид $(6x^2 - 7x + 2)(6x^2 - 7x - 24) + 25 = 0$. Общая часть $6x^2 - 7x$ позволяет сделать замену $t = 6x^2 - 7x$. Уравнение превращается в $(t+2)(t-24) + 25 = 0$, которое после раскрытия скобок становится квадратным: $t^2 - 22t - 23 = 0$.

Ответ: Возможная замена: $t = 6x^2 - 7x$ (после предварительного перемножения скобок).

Решение уравнений

а) $(x^2 + 2x - 1)^2 + x^2 + 2x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 + 2x - 1$. Тогда $x^2 + 2x = t + 1$. Подставим в уравнение:

$t^2 + (t + 1) - 7 = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$:

$x^2 + 2x - 1 = 2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

2) Если $t = -3$:

$x^2 + 2x - 1 = -3$

$x^2 + 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -3$.

г) $((2x - 1)(3x - 2))((2x + 3)(3x - 8)) + 25 = 0$

Раскроем скобки парами:

$(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 7x + 2$

$(2x + 3)(3x - 8) = 6x^2 - 7x - 24$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(6x^2 - 7x + 2)(6x^2 - 7x - 24) + 25 = 0$

Сделаем замену $t = 6x^2 - 7x$. Уравнение примет вид:

$(t + 2)(t - 24) + 25 = 0$

$t^2 - 24t + 2t - 48 + 25 = 0$

$t^2 - 22t - 23 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ через дискриминант:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 = 24^2$

$t = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{22 \pm 24}{2}$

$t_1 = \frac{22 + 24}{2} = 23$

$t_2 = \frac{22 - 24}{2} = -1$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 23$:

$6x^2 - 7x = 23$

$6x^2 - 7x - 23 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-23) = 49 + 552 = 601$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{601}}{12}$

2) Если $t = -1$:

$6x^2 - 7x = -1$

$6x^2 - 7x + 1 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{7 \pm 5}{12}$

$x_3 = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$x_4 = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; \frac{1}{6}; \frac{7 \pm \sqrt{601}}{12}$.