Номер 244, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 244, страница 95.

244 Разложите на множители трёхчлен:

a) $x^4 - 5x^2 + 4;$

б) $x^4 - 4x^2 - 45.$

а) $x^4 - 5x^2 + 4$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$y^2 - 5y + 4$

Мы получили квадратный трёхчлен относительно переменной $y$. Разложим его на множители, найдя корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$.

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь можно разложить квадратный трёхчлен по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 5y + 4 = 1 \cdot (y - 1)(y - 4) = (y - 1)(y - 4)$

Вернёмся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к каждому из них:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

б) $x^4 - 4x^2 - 45$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену переменной: $y = x^2$. Тогда $x^4 = y^2$.

Исходное выражение примет вид:

$y^2 - 4y - 45$

Найдём корни квадратного уравнения $y^2 - 4y - 45 = 0$, чтобы разложить трёхчлен на множители.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = 9$

Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 4y - 45 = (y - (-5))(y - 9) = (y + 5)(y - 9)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 + 5)(x^2 - 9)$

Второй множитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$

Первый множитель $x^2 + 5$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2 + 5 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, итоговое разложение на множители имеет вид:

$(x^2 + 5)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x^2 + 5)(x - 3)(x + 3)$