Номер 239, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 239, страница 94.

Решите уравнение (№ 238–239);

239

а) $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$;

б) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0$;

в) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$;

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0$.

а) $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 - x^2) + (-x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x^2 - 1) = 0$

Второй множитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 1)(x + 1)$.

$(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Ответ: $-1; 1$.

б) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(3x^3 - x^2) + (-27x + 9) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(3x - 1) - 9(3x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$:

$(3x - 1)(x^2 - 9) = 0$

Разложим $x^2 - 9$ по формуле разности квадратов:

$(3x - 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1. $3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

2. $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

3. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}; 3$.

в) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^3 + x^2) + (6x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$:

$(2x + 1)(x^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

2. $x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(5x^3 - x^2) + (20x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(5x - 1) + 4(5x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x - 1)$:

$(5x - 1)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

2. $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $\frac{1}{5}$.