Номер 232, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 232, страница 91.

232ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Для каждого из выражений

$A_1 = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$, $A_2 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$, $A_3 = \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}$

найдите тождественно равное среди выражений

$B_1 = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$, $B_2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$, $B_3 = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$

Запишите и докажите соответствующие тождества.

Для того чтобы найти соответствия между выражениями из группы А и группы B, мы последовательно упростим выражения из группы B и сравним их с выражениями из группы A.

Для выражения A₁

Выражение $A_1 = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$.Проверим выражение $B_2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$.
Знаменатель дроби в выражении $B_2$ является полным квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
$B_2 = 1 + \frac{4ab}{(a-b)^2}$
Приведем к общему знаменателю $(a-b)^2$:
$B_2 = \frac{(a-b)^2}{(a-b)^2} + \frac{4ab}{(a-b)^2} = \frac{(a-b)^2 + 4ab}{(a-b)^2}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$B_2 = \frac{a^2-2ab+b^2+4ab}{(a-b)^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{(a-b)^2}$
Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, $B_2 = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$.
Следовательно, выражение $A_1$ тождественно равно выражению $B_2$.

Ответ: $A_1 = B_2$: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$.

Для выражения A₂

Выражение $A_2 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$.Проверим выражение $B_3 = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.
Приведем к общему знаменателю $a^2+b^2$:
$B_3 = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2) - (a-b)^2}{a^2+b^2}$
Раскроем скобки в числителе: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$B_3 = \frac{2a^2+2b^2 - (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2}{a^2+b^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$B_3 = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2+b^2}$
Числитель является квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, $B_3 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$.
Следовательно, выражение $A_2$ тождественно равно выражению $B_3$.

Ответ: $A_2 = B_3$: $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.

Для выражения A₃

Выражение $A_3 = \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}$.Проверим выражение $B_1 = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$.
Для доказательства тождества преобразуем обе части.
Преобразуем левую часть ($A_3$), приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$A_3 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$.
Теперь преобразуем правую часть ($B_1$), приведя к общему знаменателю $a^2-b^2$:
$B_1 = \frac{2(a^2-b^2)}{a^2-b^2} + \frac{4b^2}{a^2-b^2} = \frac{2a^2-2b^2+4b^2}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$.
Так как преобразованные выражения для $A_3$ и $B_1$ равны, то и исходные выражения тождественно равны.

Ответ: $A_3 = B_1$: $\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$.