Номер 229, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 229, страница 91.

229 Докажите тождество:

a) $\frac{(1 + \frac{a - b}{a + b})(1 + \frac{b - c}{b + c})(1 + \frac{c - a}{c + a})}{(1 - \frac{a - b}{a + b})(1 - \frac{b - c}{b + c})(1 - \frac{c - a}{c + a})} = 1;$

б) $\frac{\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \cdot \frac{bc + ac + ab}{\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Для этого упростим поочередно числитель и знаменатель дроби.

1. Упростим числитель. Выполним сложение в каждой скобке, приводя к общему знаменателю:

$1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$

$1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c}{b + c} + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c + b - c}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$

$1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a}{c + a} + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a + c - a}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

2. Упростим знаменатель. Выполним вычитание в каждой скобке:

$1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$

$1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c}{b + c} - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$

$1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a}{c + a} - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}}{\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}} = 1$

Левая часть выражения равна 1, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения, упростив каждый из двух множителей.

1. Упростим первый множитель $ \frac{\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} $.

Преобразуем его числитель, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} = \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} + \frac{c^2}{abc} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$

Преобразуем его знаменатель, также приведя к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab + bc + ac}{abc}$

Тогда первый множитель равен:

$\frac{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}}{\frac{ab + bc + ac}{abc}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac}$

2. Упростим второй множитель $ \frac{\frac{bc + ac + ab}{abc}}{\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}} $.

Числитель $ \frac{bc + ac + ab}{abc} $ уже в упрощенном виде.

Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} = \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{c}{abc} = \frac{a + b + c}{abc}$

Тогда второй множитель равен:

$\frac{\frac{ab + bc + ac}{abc}}{\frac{a + b + c}{abc}} = \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$

3. Перемножим упрощенные множители:

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac} \cdot \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$

Сократим общий множитель $(ab + bc + ac)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.